初歩的な微分方程式について分からないことがあります。

質問

y´=x/y^2
という微分方程式で、私が読んでいる本に書いてある解法は、

y^2(x)y´(x)＝x　　　　　　　　

xについて両辺を積分すると、

∫y^2(x)y´(x)dx＝∫xdx　　　　…(１)

よって　1/3y^3＝1/2x^2+C

となっていて、(１)のところで両辺を積分していますが、両辺を積分するという演算を行っても良いのでしょうか？
そのまま＝は成り立つのでしょうか？
これは、A＝Bのとき、logA＝logB というような事と同じと考えて良いのでしょうか？

また、本には以下のような別の解法も載っていました。

dｙ/dx＝x/y^2

y^2dy＝xdx　(両辺にy^2dxをかけて)

∫y^2dy＝∫xdx　　　　　　　　…(２)

よって　1/3y^3＝1/2x^2+C

(２)のところで、両辺に∫だけを書き加えているのはなぜでしょうか？いつもペアで書く、dxはどうなってしまったのでしょうか？
特に、(２)の左辺ではdxはなく、結果的にdyという表示になっています。ｙはxの関数であり、xについて積分するのに、(２)の左辺が∫y^2dyとなり、yについて積分するような計算になることがどうしても理解できません。

数学的に厳密でないところや、私の考え方が間違っているところがあるかと思いますが、どなたか教えていただけると幸いです。

回答No.3

kansai_daisuki · ベストアンサー

>　よって、∫f(x)dxは、f(x)dxの面積を足し合わせたことを意味しています。ここで、Δxの幅をlim Δx→0とすると、∫f(x)dxの面積の誤差は限りなく0になります。

ここで、
lim(Δx→0) Δx=dx
ということを知らなければ知っておいた方が良いです。

すると、

>よって、∫は、Σという式と本質的には同じです。

　より、
∫(a,b) f(x)dx
=lim(Δx→0) ( Σ(k=a,b) (f(x)×Δx) )
です。

お礼

返信遅くなり申し訳ありませんでした。
回答ありがとうございます。
微分方程式についてはもっと勉強してみます。

回答No.2

kansai_daisuki

>特に、(２)の左辺ではdxはなく、結果的にdyという表示になっています。ｙはxの関数であり、xについて積分するのに、(２)の左辺が∫y^2dyとなり、yについて積分するような計算になることがどうしても理解できません。

これについても説明をしておくと、（というより同じですが、）yについても同様に、
∫y^2dy＝∫xdxは、
y^2が縦、dyが横の長方形のΣ（累積）です。
xが縦、dxが横の長方形のΣ（累積）です。

　このように、偶然なのか必然なのか、式がy^2dyとなり、長方形の面積を求める形になっています。xについても同様になっています。

　それをΣ（累積）するというだけで、両辺をお互いに累積すれば、等式も同じということは、お好きなグラフを描いていただければ分かりますよね。

回答No.1

kansai_daisuki

>xについて両辺を積分すると、
>∫y^2(x)y´(x)dx＝∫xdx　　　　…(１)
>よって　1/3y^3＝1/2x^2+C

y^2(x)y´(x)をf(x)とおきます。
すると、(１)は、
∫f(x)dx＝∫xdx

ここで、左辺は、曲線f(x)とx軸(y=0)にはさまれた面積です。右辺は、直線y=xとx軸(y=0)にはさまれた面積です。

>(２)のところで、両辺に∫だけを書き加えているのはなぜでしょうか？いつもペアで書く、dxはどうなってしまったのでしょうか？

　カンタンのために、
∫f(x)dxという式について考えます。

　ここで、∫にする（積分する）前の式である、
f(x)dxは、f(x)Δxと書き直せます。
ここで、f(x)=a(縦),Δx=b(横)となると、
f(x)dxはa×bの長方形の面積を表しています。

　よって、∫f(x)dxは、f(x)dxの面積を足し合わせたことを意味しています。ここで、Δxの幅をlim Δx→0とすると、∫f(x)dxの面積の誤差は限りなく0になります。
（これは、グラフを描いてくれればよく分かるので、書いてみて下さい。）

よって、∫は、Σという式と本質的には同じです。
ここで、∫(c～d)と書いていれば、x=cからx=dまでの面積を足し合わせたということです。
即ち、∫とdxは、常にセットではなく、偶然セットになることが多いというだけのことです。