二階微分方程式について

質問

今二階微分方程式について勉強しているのですが
x^2*y''-x*y'+y=0という問題が解けません。一度ｙ＝ｘ＾ｍ、ｙ’＝ｍ*ｘ＾（ｍ-1）、ｙ’’＝ｍ（ｍ-1）＊ｘ＾（ｍ-2）に置き換えるやり方でといてみたのですが解が自分でやるとｙ＝（Ａ＋Ｂ）ｘとなりました。その後答えのほうを見てみるとｙ＝a*x*logx+b*xとなっていて違いました。
教科書を見てみると一次独立の場合はこのとき方でもいいらしいのですが重解だとだめなのでしょうか？
どなたかこの問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

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回答No.2

alice_44

斉次線型微分方程式だから、解はベクトル空間を成します。
二階の場合、二次元ベクトル空間です。
その基底が判れば全解見つかる訳ですが…

重根であっても、y = x は一個の解に過ぎないので．
二次元空間を張るためには、もうひとつ解が必要です。

一解見つかっていれば、係数変化法で
微分方程式の階数を下げることができますから、
そこから、もう一解見つけることができるでしょう。

回答No.1

spring135

y=uxとおいてuに関する微分方程式を導くと

xu''+u'=0

u'=c/x

u=clogx+d
y=cxlogx+dx