関数f(x,y)がxに関して一様にyについて連続

質問

関数f(x,y)がxに関して一様にyについて連続であるかの説明で分らないところがありました。
【f(x,y)の定義】
(x,y)≠(0,0)のとき、f(x,y)=2xy/(x^2+y^2)
f(0,0)=0

【説明】
f(x,y)がxについてもyについても連続であるが2変数x,yの関数としては原点（0,0）で連続でない。
f(x,0)=0,y≠0のときf(x,y)=2xy/(x^2+y^2)であるから、与えられたε、0<ε<1に対して
|y|<δならば|f(x,y)-f(x,0)|<ε
となるためには、容易に確かめられるように
δ≦|x|ε/(1+sqrt(1-ε^2))
でなければならない。故に極限lim{y→0}f(x,y)=f(x,0)の収束はxに関して一様でない。

と説明がありましたが、δ≦|x|ε/(1+sqrt(1-ε^2))の関係式の求め方が分りません。
途中の計算方法わかるかた、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

f(x,y) – f(x,0) = 2xy/(x^2+y^2) だから、

|f(x,y) – f(x,0)| < ε⇔ |2xy/(x^2+y^2)| < ε
⇔ ε|y|^2 – 2|x||y| + ε|x|^2 > 0

最後の式の左辺を |y| の２次式と見たとき、正の根を２個持つ。そのうち小さい方を a 、大きいほうを b とする。すると、

|f(x,y) – f(x,0)| < ε⇔ |y| < a

となる。よって、

|y| < δ なるすべての y に対して |f(x,y) – f(x,0)| < ε
⇔　|y| < δ なるすべての y に対して |y| < a
⇔　δ≦ a

となる。根と係数の関係から a = |x|^2/b で、

b = (|x| + sqrt(|x|^2(1-ε^2)))/ε

だから、

a = |x|ε/(1+sqrt(1-ε^2))

を得る。

お礼

すごいです。
独自では一生かかっても思いつかなかったと思います。
ありがとうございます。

回答No.2

ramayana

ああっ、失礼。ANo.1は、全然でたらめでした。陳謝して取り消します。

回答No.1

ramayana

どこから引っ張ってこられたのか、この説明は間違いですね。

　　「f(x,y)がxについてもyについても連続であるが」

とありますが、 x=0 のとき y の関数として連続でありません。同様に、 y=0 のとき x の関数として連続でありません。

lim{y→0}f(x,y)=f(x,0) という式が成立しないので、

　　「故に極限lim{y→0}f(x,y)=f(x,0)の収束はxに関して一様でない」

の記述はナンセンスです。