数列

質問

数列1,3/3,5/3^2,7/3^3,9/3^4・・・の第ｎ項が2n-1/3^(n-1)だということはわかったのですが、
この数列の初項から第ｎ項までの和が3(1-(n+1)/3^n)となるということがわかりません。
この数値はどうやって導き出すことが出来るのでしょうか？

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

Ｓ－ｒＳ法なんて名前がついています。
等比数列の和を求める技法＋アルファ＋アルファ’です。

ちょっと書きにくいので
頭の中で、１／３＝ｒ　といつでも置き換えて下さい。
第ｎ項までの和をＳと置きます。

　　　 S=1+3r+5r^2+7r^3+・・・+(2n-1)r^(n-1)
　　　rS=　　 r+3r^2+5r^3+・・・+(2n-3)r^(n-1)+(2n-1)r^n

(1-r)S=1+2r+2r^2+2r^3+・・・・/・・+2r^(n-1)-(2n-1)r^n
ここでちょと工夫して
(1-r)S=２+2r+2r^2+2r^3+・・・・+2r^(n-1)-(2n-1)r^n－１
＝【2+2r+2r^2+2r^3+・・・・+2r^(n-1)】ー(2n-1)r^n－１
＝２【1+r+r^2+r^3+・・・・+r^(n-1)】ー(2n-1)r^n－１
＝２【（１－ｒ＾ｎ）／（１－ｒ）】ー(2n-1)r^n－１
１／３＝ｒ　だから　ちょと計算して
（２／３）Ｓ＝３（１－ｒ＾ｎ）ー(２n-1)r^n－１
＝３ー３ｒ＾ｎー２n（r^n）＋r^n－１
＝２ー２n（r^n）ー２ｒ＾ｎ
両辺を（３／２）倍して、
Ｓ＝３【１ーn（r^n）ーｒ＾ｎ】
最後に、１／３＝ｒ
Ｓ＝３【１ー（n＋１）／（３＾ｎ】

回答No.1

juukennbu

2n-1/3^(n-1)が
(2n-1) x (1/3)^(n-1)
という等差数列×等比数列という部分に着目すれば
この数列の和をSnとすると
Sn - (1/3)Sn　という、数列をずらしてやる解法で解けます。