相乗平均の数学上の意義

質問

相乗平均の数学上の意義がわかりません。たとえば、ある基準の一辺の長さを決定するのに、一段落小さなサイズの一辺と、一段落大きなサイズの一辺の相乗平均を見つけることによってその長さを決定された場合がありました。（紙の基準サイズの決定に際して）
AとBを掛け合わせ、そのルートの値。これは人間の直感でいうとどういった風なんでしょう？意義が知りたいです。

回答No.7

Ishiwara · ベストアンサー

計算尺を見たことがありますか。もしなければ、グラフの目盛りなどで1、10、100、1000、10000 を等間隔に刻んだものを見たことがあるでしょう。これは非常に小さい値と大きい値が同居しているようなときに使います。
＃３,＃４さんが指摘したように、楽器の音の強さを物理的に測って、その強さが 1、10、100、1000、10000 の場合、人間には 1、2、3、4、5 の強さに聞こえます（ウエーバー/フェヒナーの法則）。すると、100の音と1000の音の強さの平均は、（100＋1000）÷2＝550 とするよりも（100×1000）のルート、すなわち 316.2 としたほうが、目盛り3と4のちょうど真ん中に来て、人間の耳とピッタリ合います。
これは、相乗平均の存在理由のほんの一例です。これからいろいろな例に触れるたびに「ナルホド」と思うことがたくさんあるでしょう。
例えば、過去３０年間の半導体の進歩、などというグラフを作るときには、こういった「対数型の目盛り」が便利で、この目盛りで「中間点」を出すときは、やはり相乗平均になります。

回答No.6

y_akkie

平均の定義は、合計をある単位で均等に区分する事です。
この概念を知らないと、算術平均、幾何平均、調和平均、加重平均など、数多くの種類が存在する平均の使いわけができなくなってしまいます。
幾何平均（相乗の平均）の場合は、
例えば、初年の売上高に対して、１年目にa1%増加し、２年目にa2%増加し、
３年目にa3%増加した場合の年間の平均の売上高の増加率を求める際に、
(a1 + a2 + a3) / 3としてはなりません。
これは、単なる３つの数値の平均値を求めたに過ぎません。
この場合は、まず、初年度の売上高をＳとし、平均をrとするとき、
r^3S = a1*a2*a3Sの関係を満たさなければなりませんので、
幾何平均をとって、r = (a1a2a3)^(1/3)となります。
このように、平均の場合は、合計に対して均等に区分できなければなりません。
少し、関係の無い話になってしまいましたが、平均の使い分けは重要なので、書かせていただきました。

回答No.5

ping80

人間の感覚は微小な刺激から非常大きな刺激まで広範囲のダイナミックレンジで知覚する能力を備えています。非常に微細な音色から大音量のクライマックスまでの広いダイナミックレンジの交響楽を楽しむ事ができます。手の指で厚さの異なる2枚の厚さの違いが識別できます。一方、厚さ10cmの鉄板と厚さ10cmより紙の厚さを加えた鉄板があっても厚さの差を手で触って厚さの差を認識することは極めて困難です。精密な測定器なら厚さの差ははっきり区別できます。同じ厚さの差でも人の感覚が刺激量の対数に比例して認識するためですね。地震の震度も実際の揺れ大きさの対数に比例して定められています。震度２と震度４の中間の震度３は震度２と震度４の相乗平均ということでしょうね。震度３の揺れの凄さの感覚が震度２の揺れと震度４の揺れの中間ということです。人間の直感も人の感覚に基づいていますので刺激量A,Bに対して感覚的な平均の刺激量Mとの関係は
logM=(logA+logB)/2
人は刺激量の対数に比例して刺激の大きさを感じることを表します。
この式を変形すれば
M＝√(A+B)
で相乗平均の関係式になりますね。

回答No.4

noname#101087

>AとBを掛け合わせ、そのルートの値。これは人間の直感でいうとどういった風なんでしょう？

このコメントから「Weber-Fechnerの法則」を想起しました。
下手に要約すると不可解になるので、下記ページからそっくり引用してみます。

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　http://tanaka.ecn.fpu.ac.jp/lecnote/INFO2006/2006_info_point_sound.html
>人間の耳（感覚）は大きさに鈍感で、物理的な刺激が２倍、４倍、８倍…というように倍増すると、はじめて等間隔で音の
>感覚が大きくなったように感じるという、感覚が物理量に比例する対数的性質を持っている(Weber-Fechnerの法則）
>（簡単にいうと、音圧＝物理的な強さが１０倍になると、音量＝耳で感じる強さが２倍になる）。
>そこで、「音」の強さを表すための基準を定め、比例する対数をとって、人間の聴覚上で分かりやすいようにした単位がデシベル (dB)である。
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同ページの「等ラウドネス曲線」にカーブがほぼ等間隔で並んでますが、あるカーブ(たとえば50 phons)の上と下の二本に対応する
「音圧」(dB にする前の値)をA,Bとすると、そのカーブ(50 phons)に対応する「音圧」が「AとBを掛け合わせ、そのルートの値」です。

(残念ながら、直感ではわからない話でしたが.... )

回答No.3

hugen

(√AB)^2＝AB
[正方形の面積]＝[長方形の面積]

回答No.2

banakona

いちばんポピュラーなのは増減率の平均でしょう。

１年目で２０％、２年目で５％増えた場合、１．２×１．０５＝１．２６なので２年トータルで２６％増です。
単純平均なら増加率は（２０＋５）÷２＝１２．５％です。しかし２年連続で１２．５％増えたとすると２年トータルで２６．５６％増になってしまいます。
そこで相乗平均です。√１．２６＝約１２．２５％となってリーズナブルな値が出てきます。３年なら全部掛けて立方根、１０年なら全部掛けて１０乗根です。

回答No.1

noname#40742

３割バッターと１割バッターのふたりと対戦するのと
２割バッターふたりと対戦するのでは、
相加平均は同値ですが、実のところ２割バッターふたりと
対戦する方がこわいことが相乗平均からわかります。