相加平均・相乗平均

質問

(1)a>0,b>0のとき(a+b)/2と√abについて(a+b)/2≧√ab(a+b≧2√ab)が成り立つ。
(2)x+ 定数/xが含まれるときの最大値、最小値の問題に有効
(3)最小値は(a+b)/2=√abのときである
(1)、(3)はなんとか理解できたのですが、(2)が意味不明で
実際問題を解こうとしても分りません。（解説を見ても＾＾；）
問題　{(x+1)(x+9)}/xにおいてxがいくつの時に最小値をとるか。
解説　(4)(x2+10x+9)/x=x+10+ 9/xとなる。
　　　(5)x=a,9/x=bとして考えると
　　　(6)xの最小値はa+b=2√abとなるから
　　　・・・
となるのですが、(4)(6)は単品でみるとわかりますが、(5)はなんでいきなりこんなふうに考えるの？なんでとx=a,9/x=bといきなりおくんだろう？となってしまいます；；
参考書、インターネットでいろいろ見たりしましたがどれも専門的な説明で理解できません。相加平均・相乗平均を勉強するのは初めてです。
参考書のような説明ではなく、
初心者でも理解できるような説明をお願いしたいです。
あつかましくて申し訳ないですが、よろしくお願いします！
（私の質問に不備がありましたら補足しますので言ってください）

回答No.2

owata-www · ベストアンサー

まず、

＞問題　{(x+1)(x+9)}/xにおいてxがいくつの時に最小値をとるか。
だけの条件では相加相乗を使ってはいけません

x<0の時は
(x2+10x+9)/x=x+10+ 9/xでx<0、9/x<0になるからです
相加相乗を使う時には範囲にまず気をつけてください

今回の場合は
(x2+10x+9)/x=x+10+ 9/xまではお分かりですね、
10は定数なのでx+10+ 9/xが最小値を取る時→x + 9/xが最小値を取る時　というのもお分かりかと思います

そして、なぜ相加相乗を使うかというと、相加相乗を使うことによって、変数（x）が消えるからです
a+b≧2√ab にa=x , b=9/xを代入すると
ab = x*9/x = 9となって、変数が消えるので
x + 9/x≧2*√（x*9/x）= 2*√9 =6
となって、最小値が分かります

このように変数(xなど)がある場合に相加相乗を使う際は、a×bで変数が消えるようにa,bをおくのがコツです（逆の場合もあるがほとんどありません）

お礼

回答ありがとうございます！
・かけたら変数が消える（x、定数/xの組み合わせがある）
・文字が正という条件（問題文にちゃんと書いてありました^^;）
・最小値・最大値を求める
ときに相加平均・相乗平均の法則を使えばいいのですね！
問題、一人で解くことができました！
もっと練習していきたいと思います。

回答No.6

owata-www

なんか見ていて不安なんですが

相加相乗平均
(a+b)/2≧√ab　(a+b≧2√ab)
で、＝が成立するのはa=bの時ですよ

あと、相加相乗平均の証明は大丈夫でしょうか？
(a+b)/2≧√ab
⇔a+b≧2√ab
⇔(a+b)^2 ≧ 4ab　0<a, 0<bより0<a+b, 0<√abなので両辺を自乗しても符号は変わらない
⇔a^2 - 2ab + b^2 ≧0
⇔(a-b)^2≧0
となり、(a-b)^2≧0は成立するので結局(a+b)/2≧√abが成立することになります（ここから＝はa=bの時に成立するのも分かる）
まあ、いきなり
a+b≧2√ab
⇔(√a - √b)^2≧0
としてこれを示してもいいですが

定理の証明法もしっかり覚えておいてください

お礼

回答ありがとうございます！
あれからひたすら問題を解きまして
意味が分かるようになりました。
証明法も覚えます！
ありがとうございました☆

回答No.5

mister_moonlight

＞まとめるとa+bの最小値はa+b=2√abのときですよね？

しっかりしろよ。a+b=2√ab　→　（√aー√b）＾2＝0　→　a＝b

＞こっちはどうまとめるんですか？

はぁ、何が聞きたいの？
既に、まとまってるだろう。

お礼

理解力なくてすみません(>_<)
なにが書いてあるのか良く分からなくて；；
もう一度考えてみます。
ありがとうございました！

回答No.4

noname#111804

問題　{(x+1)(x+9)}/xにおいてxがいくつの時に最小値をとるか。

{(x+1)(x+9)}/x
=(X^2+10X+9)/X
=X+10+9/X
=10+(x)+(9/X)
（ここで、Ｘ＝ａ、９／Ｘ＝ｂ、とみなすと）
≧１０＋２√（Ｘ・（９／Ｘ））
＝１６

Ｘ＝３のとき等号が成り立ち、最小値１６．

お礼

回答ありがとうございます！
代入すれば最小値がでてくるんですね。
勉強になりました＾＾

回答No.3

mister_moonlight

＞(2)x+ 定数/xが含まれるときの最大値、最小値の問題に有効

a+b≧2√abにおいて、a+bが一定値：mとするなら、m≧2√abであるから両辺が正から2乗すると、m＾2/4≧ab 。等号は　a＝b　の時で、abの最大値が　m＾2/4　である事を示している。

次に、abが一定値：nなら、a+bの最小値が2√nである事を示している。
等号は　a＝b　。

使われている文字が“正”という条件がついていたら、相加平均・相乗平均が使える可能性が高い。

お礼

回答ありがとうございます！
＞abが一定値：nなら、a+bの最小値が2√nである事を示している。
等号は　a＝b
をまとめるとa+bの最小値はa+b=2√abのとき
ですよね？
＞a+b≧2√abにおいて、a+bが一定値：mとするなら、m≧2√abであるから両辺が正から2乗すると、m＾2/4≧ab 。等号は　a＝b　の時で、abの最大値が　m＾2/4　である事を示している。
こっちはどうまとめるんですか？
変な質問をしてすみません・・。
そういえば最大値は相加平均・相乗平均が
どんな関係のときなんだろう？
と疑問に思いまして・・

回答No.1

info22

> なんでとx=a,9/x=bといきなりおくんだろう？
単純なことです。
xと1/xの項をかければxが消えて定数項になるからです。
（x>0であることが相加平均、相乗平均の関係がなりたつための条件）

お礼

回答ありがとうございます！
相乗平均を利用して文字を消すためなんですね！
定数項になれば解けますね！
よく分りました＾＾