組合せ論を使って証明できる不等式はあるのでしょうか？

質問

相加相乗平均の関係や、三角不等式、コーシーシュワルツの不等式などは、平面幾何学の図形を用いて、証明することもできます。
実際は、解釈できるといった方が適当かもしれません。

では、同じく直感的な数学の組合せ論を使って証明できる不等式はあるのでしょうか？

たとえば、次の問題は原始的で、式変形を使えばすぐに証明できますが、式を一切使わずに、より直感的に解釈するにはどうしたらよいのでしょうか？
数ヶ月前から考えているのですが、よくわかりません。

A,Bの箱に赤と白の玉が複数ある。どちらも、赤が多い。それぞれの箱の玉の合計数は同じとは限らない。A,Bから1つずつ玉を取り出すとき、同色の確率と異色の確率では、同色の確率の方が高い。

回答No.1

Kules

質問文をざっと読んだだけなので間違った解釈をしていたらお許しください。
＞同色の確率と異色の確率では、同色の確率の方が高い
とは言っていますが、結局「赤赤」が一番出やすいのかな、と思います。
例えばAには赤が1000個、白が１個
　　　Bには赤が10000個、白が１個
となっていた時、「まず白は出ないやろ」→「両方赤になるんちゃう？」と直感的に感じます。
それと同じようにどちらも赤が多いのなら「白はあんまり出ない」→「両方赤になりやすいかも」と何となくですけど思います。
ただ、個数が非常に近い時(Aは赤が5001個、白が4999個、Bは赤が501個、白が499個)、赤白とかになる可能性も感覚的には高そうなので、これだけの感じ方だと不十分かも知れません。

最後若干尻すぼみな論理展開ですがご容赦を。参考になれば幸いです。