相加平均、相乗平均

質問

相加平均、大なり相乗平均の、
３乗と、ルート３乗根の証明の仕方を教えてください。
因数分解とか、解がいくつかあるようですが
わかりません。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(a+b+c)/3≧[3]√(abc) (a>0,b>0,c>0)…(■)
等号はa=b=cの時成立
([3]√は３乗根を表す記号として使用する）
を証明するには
a=A^3,b=B^3,c=C^3 (A>0,B>0,C>0) とおいて証明する。
(A^3+B^3+C^3)/3≧ABC…(1)
この式を証明すればいい。
つまり両辺に３を掛けた式を証明すればいいですね。
(A^3+B^3+C^3)≧3ABC…(2)
(左辺)-(右辺)=(A^3+B^3+C^3)-3ABC
=(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)
=(1/2)(A+B+C){2A^2+2B^2+2C^2-2AB-2BC-2CA}
=(1/2)(A+B+C){(A^2-2AB+B^2)+(A^2-2AC+C^2)+(B^2-2BC+C^2)}
=(1/2)(A+B+C){(A-B)^2+(A-C)^2+(B-C)^2}≧0
等号はA=B=Cのとき成立。
これで(2)が証明されたわけです。
(2)が成立すれば(1)が成立し、さらに(■)が成立することが
示されたことになるでしょう。

（なお、質問するときは自力努力の解答を書いて分からない箇所だけ質問するようにして下さい。まったく分からない場合は質問する資格がありません。そのような質問は削除されてしまいます。）

お礼

この証明問題を解く方法は知っているのですが、
二乗までしか、解く力を、持ちません。
この問題は、私が大学を受験したときに、
一番目に出てきた問題です。
右辺を左辺に移項し、後は、計算力だけで解こうと試みたのですが
時間がかかりすぎ、結局複雑な計算ができませんでした。
理屈はわかるのですが、ダメでした。
あなたの回答は、分かりやすくて、もう一度、苦手な数学にチャレンジする勇気がわいてきました。
この問題が解けなくて、落ちたことは、大きなトラウマになっていたのです。本当にご指導ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

凸関数を使っての証明方法がある。
0＜x＜πでsinxは凸関数であると言う重要な性質を知っておくと、将来大変に便利なので、それを念頭においた解法を示そう。

文字は全て正か0とする。
a＋b≧2√（ab）、c＋d≧2√（cd）が成立する。
これを加えると、a＋b＋c＋d≧2{√（ab）＋√（cd）}≧4（4）√（abcd）。‥‥(1)
(1)において、3d＝a＋b＋cとすると、途中の計算は省略するが、（a＋b＋c）＾3≧27abc　→　a＋b＋c≧3（3）√（abc）。
等号成立は、a＝b＝cの時。

凸関数については、“凸関数”で検索すると沢山出てくる。

お礼

ありがとうございます。
丁寧に指導していただいたのは、感謝しています。
でも、私のレベルでは、理解できませんでした。
ごめんなさい。