相加相乗平均の拡張
これは、一般的な話題ですので、興味あるかはぜひ、何分かお付き合い願います。
簡単のために、正の３変数a,b,cについてかきます。
E(x;a,b,c):=((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)
をx乗平均といます。xは実数ですが、x=0のときは、その極限を考えるものとします。
x=-1のときは調和平均、x=0のときは相乗平均、x=1のときは、相加平均となります。
そして、それらの間の関係である不等式を拡張した、
[命題]
a,b,cをa=b=cでない3つの正実数としたとき
E(x;a,b,c)=((a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)
は実数変数xについて単調増加である
が成り立ちます。
それを示すには、
log E(x;a,b,c)=log ((a^x+b^x+c^x)/3) /x
を考え、xで微分して正であることがいえればいいはずです。
（必要であれば２回微分も考える。）
しかし、その微分の計算が複雑になってうまくいかないのです。
うまく計算できたかたは、その方針だけでも教えてください。
お礼
わかりました。ありがとうございます。