数学的な疑問です。詳しい方には幼稚な話でしょうが、

質問

数学に弱い私のために教えてください。
道を歩いていて、どう行くのが近道か考えているうちに、こんなことを空想しました。
1辺の長さが1の正方形の土地の地図を見ていると想像して、左下の地点ら右上の地点まで行くことを考えます。このとき、上に1行って右へ1行くルートだと、距離は2です。
これを0.5上→0.5右→0.5上→0.5右、というふうに階段状に行っても、距離はやはり2です。
では階段をもっと細かくして、直線距離を0.5、0.25、0.15・・・直線ルートの数を4,8,16・・・と細かくして行くと、しだいに対角線に似てきますよね。でも地点間の距離は、どこまでも2のままです。
でも階段を極限まで細かくして、直線距離を限りなく0、曲がり回数を無限大にすると、ついに対角線と同じになって、距離は√2になりませんか？
ではいつ、距離が2から√2になったのでしょうか？どこかで突然、値が飛んだのでしょうか？
この考えはどこがおかしいのでしょうか？レベル低いかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

okormazd · ベストアンサー

たとえば、1辺1の正方形の縦横をn等分して、縦横1/nずつ進んで、左下から右上まで行くとすれば、
移動距離は、
n・1/n+n・1/n
です。細かくしていくというのは、n→∞の極限をとるということです。計算するまでもないが、
lim(n→∞)(n・1/n+n・1/n)=lim(n→∞)(2)=2
です。対角線にはなりません。

対角線は、√((1/n)^2+(1/n)^2)をn個集めたものです。すなわち、n・√((1/n)^2+(1/n)^2)で、その極限は、計算するまでもないが、
lim(n→∞)(n・√((1/n)^2+(1/n)^2))=lim(n→∞)(√(2)
です。

両者が同じように見えるのは錯覚ですね。

お礼

なるほど！すごくよく分かりました。
同じように見えても、数学的には全く違うのですね。
お騒がせしました。

回答No.1

alice_44

二点間の距離は、最初から √2 です。
二点間を移動する道のりが、2 なのです。
貴方のやり方で刻み幅を小さくしていっても、
対角線の近所を貧乏ゆすりのように細かく
右往左往しながら、結局道のり 2 で移動する
経路ができるだけで、対角線には永遠にならない
のです。

お礼

ありがとうございます。
どこまで細かくしても、絶対に対角線にはならないのですね。