曲線と直線

質問

xy表面上の、2つの円Ｃ1:x^2＋y^2＝r1^2，Ｃ2:x^2＋（y－4）^2＝r2^2（r1＞0、r2＞0）について、
（1）円Ｃ1,Ｃ2それぞれの，傾きが√３の接線の方程式を求めよ。
（2）r1＝１とし,傾きが√３の円Ｃ1の接線をＬとする.Ｌが同時に円Ｃ2の接線でもあるとき,r2の値を求めよ.
（3）r1＝1でr2が（2）で求めた値のとき,２円Ｃ1,Ｃ2に共通な接線をすべて求めよ.
お願いします

回答No.3

anoko · ベストアンサー

引き続き（3）について。
（計算が面倒かと思ったのですが、図を書いてみたら
すぐに分かったので答えだけ。）
r2=1のとき
y=√3x+2
y=-√3x+2
x=1
x=-1
r2=3のとき
y=√3x-2
y=-√3x-2
y=1
です。

お礼

ありがとうございます。助かりました。

回答No.2

anoko

引き続き（2）について。
（1）のC2についての答えは、y=√3x+4±2r2で
r1=1なのでC1の接線はy=√3x±2です。これが一致すればよいので
√3x+4±2r2=√3x±2
4±2r2=±2
±r2=±1-2=-3,-1
r2>0よりr2=1,3となります。

回答No.1

anoko

まず（1）の解き方を説明します。

傾きが√3の直線は、y=√3*x+a　とあらわせます。
これが円C1と接するのですから、連立させると（x,y）
は一組の解をもつことになります。
（解をもたないときは円と直線は離れていて、
解が2つのときは円と直線は2点で交わっています）

直線の式を円の式に代入すると
x^2+(√3*x+a)^2=r1^2
x^2+3x^2+2√3*ax+a^2-r1^2=0
4x^2+2√3*ax+(a^2-r1^2)=0
ここで解が一つであるためには判別式の
b^2-4acが0であればよいので
12a^2-16(a^2-r1^2)=0
-4a^2+16r1^2=0
a^2=4r1^2
a=±2r1
となります。
C2についても同様にやってみて下さい。

ほかに、点と線の距離を使うやり方でも解けると思います。円の中心と接線の距離は円の半径に等しくなります。
（私はこの距離を求める公式を忘れてしまいましたが。）
また、円の中心を通ってx軸に平行な直線とy軸に平行な直線と接線でできる直角三角形と、円の中心から接線に垂線を下ろしてできる直角三角形の掃除を使っても解けるでしょう。

（2）、（3）については、考え中です。