自然対数の和が分母にある定積分の求め方

質問

∫(0から∞）　dx / ( 4e^x + 12e^(-x) )

の定積分の求め方がわかりません。

分母を和から積にしないといけないと思うのですが、この場合どう手につけていいか分かりません。
ヒントだけでもいいので教えてください。

回答No.1

abyss-sym · ベストアンサー

1/(4e^x+12e^(-x)) = e^x/(4e^2x+12)
ここで t=e^x として置換積分します。
e^x/(4e^2x+12) = t/(4t^2+12) = (1/8)×2t/(t^2+3) = (1/8)×(t^2+3)´/(t^2+3)
となることを使ってください。

お礼

e^xを分母分子に掛ければよかったんですね。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#181872

#1さんの回答で、dx/dtに相当する項がないかと思うのですが。
おそらくtに置換した後、もう一度なんらかの置換をする必要が
あると思います（よくあるパターンなのできっと教科書に書いてあります）。
ちなみに積分する範囲も変わりますのでご注意を。

お礼

追記ありがとうございます。

置換は1回で済みました。
積分範囲は（0から∞）から（1から∞）になりました。