指数、対数関数の導関数の証明

質問

微分の問題で
(e^x)´=e^x を使ってe=lim(1+1/x)^x
　　　　　　　　　　　x→±∞
を定義に従って証明したいのですが、ヒントとなるサイトか、アドバイスをお願いします。

回答No.1

noname#50894

a_n=(1+1/n)^n,b_n=1+1/1!+…+1/n!
とおく。

(1)数列{a_n}，{b_n}はが同じ値に収束する。
［この値をeと定義する］

(2)lim[x→∞]{(1+1/x)^x}=e

(3)関数e^xの導関数はe^xである。

■(1)は同時に確認すべきですが、
{b_n}が収束すること、かつ0<a_n<b_nは比較的容易です。

最後の詰め、lim[n→∞]a_n=lim[n→∞]b_nの証明に言及したものは
比較的少ないようです。
>ヒントとなるサイト…
この証明に関する限り見たことはありません。
自力で工夫すれば出来ますが、意外に、てこずります。
何日かかけて、やってみるのも時間の無駄ではありません。

岩波書店・松坂和夫著「数学読本」
2 　簡単な関数／平面図形と式／指数関数・対数関数／三角関数
に載っていたと記憶しています。
必要であれば、本屋で立ち読みして下さい。
私は持っていません。

(2)は(1)から導けますね。

(3)は，今までの流れに沿えば
a>0(a≠1)のとき、log_a(x)の導関数が(1/x)log_a(e)となることを
証明してから、証明した方がスムーズに行くと思います。