e^(1/(x-1))

質問

度々すみません。(。つ_●；)

f(x)=e^(1/(x-1))

のdomain(変域?)、
漸近線、
グラフの書き方がわかりません。

ロピタルの定義使うか微分するんですよね…？

実力不足ですみません。。。＞＜。

回答No.1

batai · ベストアンサー

難しいですね。
まず分母は0を取れないので、f(x)=e^(1/(x-1))においてx = 1という点は取れません。よってまずx = 1が漸近線になります。

そしてグラフを見ると
xを0の方から限りなく1に近づけると、f(x) = 1 / e^∞なので、0に近づきます。

逆にxを2の方から1に限りなく近づけますと、f(x) = e^∞となり、無限大になります。

同様にf(x)を－∞に限りなく近づけるとf(x) = ∞になり、＋∞に限りなく近づけるとf(x) = 0になります。

また、グラフを微分してみます。

f(x)=e^(1/(x-1))
f(x)' = -e^(1/(x - 1)) / (x - 1)^2

これを見るとf(x)'はxの値に関わらず常にマイナスですのでf(x)は単調減少ということになります。

よってグラフはx = 1を境として、左上から右下(下限は0)に向かって同じように二本の線が伸びるグラフが描けると思います。

さて、詳しい形についてはもう少しやらないといけません。

微分したグラフをもう一度微分しましょう。(二階微分)

f(x)=e^(1/(x-1))
f(x)' = -e^(1/(x - 1)) / (x - 1)^2
f(x)" = (2x - 1)・e^(1/(x - 1)) / (x - 1)^4

つまり
x > 1/ 2 の時　f(x)" > 0
x ≦ 1 / 2の時　f(x)" ≦ 0

となります。

よってx = 1 / 2を境にしてf(x)のグラフの形が変わります。

x < 1/ 2 の時　f(x)' < 0 、f(x)" < 0　より
すごい急激にf(x)は減少します。
形のイメージとしては、原点を中心とした単位円を座標上に書いてみてください。

その時の第一象限のような減少の仕方です。

また、x > 1/ 2 の時　f(x)' < 0 、f(x)" > 0　より
ゆるやかにf(x)は減少します。
単位円で表すと第三象限のような減少の仕方です。

x = 1 / 2　のときにそれらを結合するように書いてください。

こんな感じでわかりましたでしょうか？

まとめると

漸近線はx = 1，y = 0
です。

グラフは単調減少。
その形はx < 1 / 2　の時、第一象限の形
x > 1 / 2　の時、第三象限の形(x > 1の時も同様です)

になります。

お礼

ぉ～すごぃです( 。・・。)さすがですねぇ。
詳しくてすごくわかりやすかったです!!
説明されて初めて気付きました＾＾；もっと頭柔らかくしないとですね！ほんとうにありがとうございましたッ(ノ・∀ヽ*))((*ノ∀・ヽ)