ふなひとはちふたはち‥‥のe？？

質問

このｅ（＝2.71828....）ってどうして特別扱いされるんですか？
たとえば、
f(x)=e^x
f'(x)=e^x　であって、 f'(x)＝x・e^(x-1)　ではありません。

このeがただの2.7としてではなく、eとして存在する理由を教えて下さい。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞f'(x)=e^x　であって、 f'(x)＝x・e^(x-1)　ではありません。

ありゃ。それは大きな勘違いです。
＃１様、＃２様によるご説明を読む前に、まずは基本から。

ｆ（ｘ）＝ｘ^n
というのは、ｘのｎ次関数です。
ｆ’（ｘ）＝ｎｘ^(n-1)
ｘが変数、べき乗のｎが定数だから成立している微分公式です。

ｆ（ｘ）＝ｅ^x
においては、べき乗のｘは、定数ではなく変数です。
ｘ次関数ではなく、ｘの指数関数です。

以上を踏まえた上で、

ｅの性質として最も重要と思われるものとしては、
１．　ｅ^x をｘで何回微分しても ｅ^x になる！
２．　ｅ^x の逆関数、つまりｅを底とした対数関数 log(x) をｘで微分すると、１／ｘ になる！
３．　cosx ＋ ｉ・sinx = ｅ^(ix)　である！　　（ｉ＝√（－１））
が挙げられます。

２は１から導出されます。
ｙ＝logｘ
ｘ＝ｅ^y
ｄｘ／ｄｙ＝ｅ^y
よって、
ｙ’＝ｄｙ／ｄｘ＝１／ｅ^y＝１／ｅ^(logx)＝１／ｘ

３は１と２から説明されます。
ｙ　＝　cosｘ ＋ ｉsinｘ　とおいて、

ｙ’＝　ｄｙ／ｄｘ
　＝　－sinｘ ＋ ｉcosｘ
　＝　ｉcosｘ　＋　ｉ・ｉsinｘ
　＝　ｉ（cosｘ＋ｉsinｘ）
　＝　ｉｙ
つまり、
１／ｙ・ｄｙ　＝　ｉｄｘ
∫１／ｙ・ｄｙ　＝　ｉ∫ｄｘ
（ここで２を思い出して）
logｙ　＝　ｉｘ＋Const.
よって、
ｙ　＝　ｅ^(ix + Const.)
ｘ＝０　のとき　ｙ＝１　でなくてはいけないので、
ｙ　＝　ｅ^(ix)

ｙ　＝　cosｘ ＋ ｉsinｘ　だったので、

ｅ^(ix)　＝　cosｘ ＋ ｉsinｘ

以下には、実用的な面でｅが「特別扱い」される理由を挙げます。
-----------------------------------------------------

１．　ｅ^x をｘで何回微分しても ｅ^x になる！

このことにより、ｅを他の数字に取り替えた指数関数の微積分が簡単にできます。
たとえば、２^x の微分の場合
２^x　＝　（ｅ^log2）^x　＝　ｅ^(ｘlog2）なので
（２^x）’＝　log２・ｅ^(ｘlog2）

逆に言えば、ｅを他の数に取り替えた指数関数の微積分は複雑になるということです。

この性質の重要な応用は、金利の計算です。
http://www2.kumagaku.ac.jp/teacher/~sasayama/macroecon/mailmagalogarithm.html

-----------------------------------------------------
２．　ｅ^x の逆関数、つまりｅを底とした対数関数 log(x) をｘで微分すると、１／ｘ になる！

これによって、さまざまな現象の説明ができます。
・不透明なガラスを透過する光の減衰
・放射性物質の半減期と放射能
・洗濯物の乾き方
　　・・・・・
（挙げるときりがありません。）

なぜかといえば、これらの現象は、すべて
－ｄｘ／ｄｔ　＝　ａｘ
で表される、つまり、
ｄｘ／ｘ　＝　－ａｄｔ
　　→　∫１／ｘ・ｄｘ　＝　－ａ∫ｄｔ
の形になるからです。

-----------------------------------------------------
３．　cosx ＋ ｉ・sinx = ｅ^(ix)　である！　　（ｉ＝√（－１））

これによって、電気回路の計算が楽になります。
工業高校などの電気の授業では、「ｊ」という記号を使いますが、これは「ｉ」のことです。（電気ではｉは電流を意味するので重複を避けた記号です。）
ｅ^(jx)の微分はｊｅ^(jx)　です。
つまり、１回微分することと、ｊを１回掛け算することとは同じことであることを利用しています。
（さらには、上記２のことについても、計算が楽になります。）

回答No.6

proto

性質よりもむしろ定義からいったほうが理解しやすい気がします。
eの定義は
　　e = lim[x→0]{(1+x)^(1/x)}
です。
限りなく1に近い数を限りなくたくさん掛け合わせるというイメージですね。
これを具体的に計算したのが2.71828...ということになります。

さて、上の定義式がどこに表れるかというと、対数関数の微分です。
いま底がa(なんでもいいんですが、)の対数関数をlog[a](x)と書きましょう。
そして微分の定義f'(x)=lim[h→0]{(f(x+h)-f(x))/h}に従って、対数関数を微分してみます。
　　(log[a](x))' = lim[h→0]{(log[a](x+h)-log[a](x))/h}
　　　　　　　　 = lim[h→0]{log[a]((1+(h/x))^(1/h))}
　　　　　　　　 = lim[h→0]{(1/x)*log[a](1+(h/x)^(x/h))}
ここでh/x=tと置くと、h→0のときt→0より
　　(log[a](x))' = lim[t→0]{(1/x)*log[a]((1+t)^(1/t))}
log[a]の中身をよーく見てみると、先ほどのeの定義と同じになってますよね。
つまりlog[a]の中身はある定数に収束するのです。
以上より
　　(log[a](x))' = (1/x)*log[a](e)
という事がわかりました。

さてここからが大事で、じゃあ底がaの対数関数じゃなくて底がe=lim[x→0]{(1+x)^(1/x)}の対数関数を微分したらどうなるだろうと考えるのです。
そうすると、先ほど導き出した式より
　　log[e](x) = (1/x)*log[e](e) = 1/x
となります。
すなわち、底がe=lim[x→0]{(1+x)^(1/x)}であるような特別な対数関数を微分すると、結果がきっかり1/xになるのです。
微分したとき余計な係数が付かなくて便利だということで、これに自然対数という特別な名前を付けてln(x)という記号で書く事にしたのです。

次に、この自然対数を使って指数関数を微分してみます。
底を適当にaとして
　　y=a^x
とします。
このとき定義通り微分するのではなく両辺の自然対数を取ってから微分してみます。
対数取ると
　　ln(y) = ln(a^x) = x*ln(a)
左辺のyはxの関数ですから合成関数の微分をして
　　(ln(y))' = (1/y) * y'
となります、ここで自然体数は微分するときっかり1/xになるという特別な特徴を使っています。
右辺も微分して
　　(1/y) * y' = ln(a)
両辺にyを掛けて
　　y' = y * ln(a)
　　(a^x)' = a^x * ln(a)
となりました。
ここでまた底がe=lim[x→0]{(1+x)^(1/x)}であるような指数関数を微分するとどうなるだろうと考えます。
ln(x)は底がeの対数でしたから
　　(e^x)' = e^x * ln(e) = e^x
となって底がeの指数関数は微分しても形を変えないという事が解りました。

これらのeの対数関数・指数関数に関する性質は、eが2.71828...だからそうなるわけではなくeの定義である
　　e = lim[x→0]{(1+x)^(1/x)}
という式から導かれる性質なのです。
2.71828...というのはあくまで計算してみたらそうなったという程度のものなのでオマケみたいなもんです。

ちなみに余談ですが先ほどのeの定義式は具体的に計算するには少し不便で、実際には
　　e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + ...
　　　= Σ[n=0～∞]{1/n!}
を使って計算する方が便利です。

回答No.5

kumipapa

#4さんに補足
e じゃなくても
f(x) = a^x でも
f '(x) = xa^(x-1)
にはなりません。

f '(x) = log(a) a^x

a=e のときは、log(e)=1 なので、
f '(x) = log(e) e^x = e^x
とlog(a)の係数が見えなくなるだけです。まあ、これが大きな性質と言えばそうなんですが。

回答No.3

BookerL

＃１です。追加です。

　オイラーが発見した

　ｅ^iπ＝－１

という関係があります。数学ができる人にはこれが「美しい式」に見えるそうです。虚数単位の i、円周率π、というものと並んで自然対数の底である e が登場しています。

回答No.2

oyaoya65

他に大きな用途があります。

f(x)=log_e x
f'(x)=1/x

∫(1/x)dx=log_e x + C

と微積分法で重要な役割をしたり

オイラーの公式
e^(ix)=cos(x) +i sin(x)
e^(-ix)=cos(x) -i sin(x)
iは虚数単位です。

これから
cos(x)={e^(ix)+e^(-ix)}/2
sin(x)={e^(ix)-e^(-ix)}/(2i)
といった重要な関係式があります。

これらの関係式が、数学や理工学分野の方程式の解法や解析に応用されています。

このeの発見で数学や理工学の進歩に大きく影響を与えました。

回答No.1

BookerL

＞ｅ（＝2.71828....）ってどうして特別扱いされるんですか？

　う～ん、特別な数だからです、としかいいようがないですが。例えば、(ｅ^x)'＝ｅ^x となる、というような特別な性質を持っています。
　円周率πと並んで数学で重要な数ですが、πに比べて直感的にわかりにくい数ですね。

定義等の基本は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

図形的なイメージは
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/e/e.htm

こんなページもあります。
http://www.daieidream.co.jp/html/science/e.htm