開根計算の根拠

質問

開根計算(累乗根を10進展開表示するための計算)の説明があるサイトを見ましたが、具体的な数値を例に説明していて一般的な形でその計算方法を理解することができません.
開根計算は一般的にはどのように説明できるのでしょうか？
また、開根計算の理論的根拠を教えて下さい.
テーラー展開が理論的基礎になっているのでしょうか?

回答No.3

ht1914 · ベストアンサー

√の開き方についてでいいのでしょうか。
昔はみんな習いました。
今は電卓でも出来ますので多分誰もやらないでしょう。その分、簡単な概算まで出来なくなってしまっているようです。２桁の数字のルートを○．○と近い数字を考えてみるということの出来る高校生は少ないと思います。

√２＝１．４１４・・・
２桁ずつ区切っていくやり方をご存知ですか。
　　　　　　１．４１
　１　　　　√２
＋１　　　　－１
　２（４）　　１００　　　　（）の中に同じ数字を入れて掛ける。
　　（４）　　－９６　　　　　１００を越えない・・・・４がはいる
　　２８（１）　　４００　　　　左側は足し算、右側は引き算です。
　　　　（１）　　２８１
　　　２８２　　　１１９

このやり方は逐次近似を手順化したものです。
ｘ＝√２とします。ｘ＝○．○○○・・・です。
最初の数字は１であることはすぐに分かります。
ｘ＝１＋０．１ａとします。
ｘ＾２＝１×１＋０．１×２×ａ＋０．０１×ａ×ａ＝２
移項して１００を掛けます。
２０×ａ＋ａ×ａ＝（２０＋ａ）×ａ＝１００
ａ＝○．○○・・・です。整数の所に入るのは４です。
ａ＝４＋０．１ｂとします。
（２４＋０．１ｂ）×（４＋０．１ｂ）＝１００
９６＋（２４＋４）×０．１×ｂ＋０．０１×ｂ×ｂ＝１００
移項して１００倍します。
（２８０＋ｂ）×ｂ＝（１００－９６）×１００＝４００
ｂ＝１＋０．１ｃです。
これを続けていきます。

昔はこれでやっていました。割り算をやるのと同じ間隔で少し修正したものと言うことになりますから馴染みやすいです。

数値計算の逐次近似ということであればニュートン法がよく知られていますが手計算ではこれの方が分かりやすいです。

５桁ぐらい出すのでしたらこれで十分です。

お礼

ありがとうございます．おかげさまでかなり理解できました.

回答No.2

jamf0421

証明にも何もなっていないのですが、開平について述べます。本質的にはNo.1さんの言われている通りです。
たとえば
(10^2A + 10B + C + 10^-1D)^2=10^4A^2 + 2x10^3AB + 2x10^2AC +10^2B^2 + 2x10BC +2x10AD +2xBD + C^2 + 2x10^-1CD + 10^-2D^2
ですね。
右辺を開平する作業で√の答えとして順に10^2A, 10B, C, 10^-1Dを立てていけば、開平作業がうまく行っていることは、あるいは自分が何をやっているのかは一応は分かるのですが...

お礼

ありがとうございます．おかげさまでかなり理解できました.

回答No.1

kkkk2222

昔昔その昔、開平/開立は旧制中学では常識的に教えられたようです。母が教えてくれましたが、面倒で覚える気がしませんでした。開立も知っている様でした。

根拠は単に（Ａ＋Ｂ）＾２＝・・・のはずです。

お礼

ありがとうございます．おかげさまでかなり理解できました.