多次元正規分布の平均の導出について

質問

最近、マクロ経済の論文を読み出しているのですが、
どうしてもその証明で納得できないところがあり、
周りに聞いても、分からないようなので質問します。

(a;b)を列ベクトル　(a,b)を行ベクトル。
(a,b)'を(a,b)の転地行列。
t=0,1,2・・・。
Dt≡(D1t;D2t;・・・;DJt)。Xtはベクトルではない普通の確率変数。
Dt,Xtは時間を通してi.i.dで、平均ゼロ。
u(t)≡(Dt;Xt)～N(・,σ)
平均は「・」で省略、分散共分散行列σは
σ=
( σDD,σDX )
( σXD,σXX )　←２×２の行列

この条件で
論文の証明を見ると
Et[exp{-(A;B)'u(t)}]
＝exp[-{(A;B)'σ(A;B)}/2]

となっており、
平均出すのにどうやったら分散共分散行列がでてくるのだろう？
という状況になっており、図書館で確率の本を見てみても
イマイチ分かりません。
自分の知識不足が原因ですいませんが、
何かアドバイス等がありましたら
なんでも構いませんのでよろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

前提がよく理解できませんが、
つまり、u(t)というのは、J+1次元正規分布（列ベクトル）てことですか？
(A;B)'てのは、J+1次元の（定数）の行ベクトルてことですか？

そうであるとして、例えばJ=2の場合を考えて
u(t)= (u1 u2 u3)'
(A;B)' = (a1 a2 a3)
だとすれば、
E[exp{-(A;B)'u(t)}] = E[exp(-(a1*u1+a2*u2+a3*u3))]
　= 1 - E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)] + 1/2*E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)^2] - 1/6*E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)^3] + …
　= 1 - E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)] + 1/2*E[(a1*u1+a2*u2+a3*u3)^2]
（正規分布の３次以上のモーメントは０）
ですが、この２次の項から共分散行列がでてきます。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
なるほど、テイラー展開すれば共分散行列が出てきますね。

証明を見ると、
E[exp{-(A;B)'u(t)}]
＝exp[1/2*{(A;B)'σ(A;B)}]　←exp[-{(A;B)'σ(A;B)}/2]から訂正
とexpの中に共分散行列が入っていますから、
この過程を導出するには、もう一工夫？必要みたいですね。

かなり参考になりました。
ありがとうございます。

補足

＞u(t)というのは、J+1次元正規分布（列ベクトル）てことですか？
＞(A;B)'てのは、J+1次元の（定数）の行ベクトルてことですか？

そのとおりです。