対数正規分布について

質問

現在、実験の解析で対数正規分布を使用するため勉強しているのですが、
ある論文の中に以下の式がでてきました。

f(x)=A* exp[-{ln(x)-ln(t)}^2/r^2]

⊿x=2t*sunh(r)

f(x) ＝対数正規分布の確率密度関数
A　　＝正規化定数、
t　　＝モード（f(x)が最大値の時のxの値）
⊿x　＝f(x)の最大値を1/e倍した値の時に求められる２つのｘの幅

一般の教科書に載っているような式と違うため解釈に困っています。
A（正規化定数）をどのように求められるのか、ｒは平均、標準偏差とどのような関係があるかなどわからないことだらけです。
どうか、これらの関係を教えていただけないでしょうか、よろしくお願いします。

回答No.1

spring135

対数正規分布の標準形をしっかり把握すれば心配することはありません。対数正規分布の標準形は一般の教科書に載っています。

F(x)= exp[-{ln(x)-μ}^2/2σ^2]/xσ√2π

が対数正規分布の標準形でこの時、平均=exp(μ+σ^2/2)です。exp(μ)が中央値を与えます。

重要な点はf(x)が規格化定数Aとしている中に標準形ではxが入っていることです。

つまりf(x)はちゃんとした使い物にはなりません。

上記の点に目をつぶりあえて標準形と対応すればt=exp(μ)が中央値を与えます。

r=σ√2

⊿x=2t*sunh(r)はsunh(r)の定義がないと全く意味不明です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私も標準形に対応させて考えたときにｔが中央値であるなら無理やり解釈できると思ったのですが、

論文でtは、f(ｘ)の最大値の時のｘをグラフで指しているので、この論文ではｔはモードとして扱っている

と思われます。

ｔをモードと考えたときに標準形と対応させることは可能なのでしょうか。

立て続けに質問して申し訳ありませんが、ご教授の程よろしくお願いします。

sunh(r)ですが、sinh（ｒ）の間違いでした、申し訳ありません。