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正規分布の式をフーリエ変換する際の解法
現在フーリエ変換を研究のために再度勉強しているのですが、以下の式を解く過程でどうしても詰まってしまいます。 ∫(-∞,∞) 1/(√(2π)σ)×exp(-((t-μ)^2)/(2σ^2)) × e^(-jωt) dt (t以外の文字はすべて定数) 要するに正規分布の確率密度関数式をフーリエ変換する際の式です。 インテグラル右の"1/"から"))"までが確率密度関数、それ以外はフーリエ変換式です。 確率密度関数についてはこちらのほうが見やすいと思います↓ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83 どこで詰まっているかといいますと、式が分かっておるのでフーリエ変換云々ではなく積分段階で詰まっています。 勉強不足が目に見えているのですが、少しばかり急を要することで…にっちもさっちも行かず質問させていただきました。 どなたかご教授お願いします。。
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- hitokotonusi
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方法1: 複素積分のコーシーの積分定理を利用して、実軸上の積分になおす。 問題の積分(フーリエ変換)はガウス平面上では虚数部一定の実軸に平行な直線上の積分。 また、x→±∞ではガウス関数の力により虚数部の値によらず0になる。 方法2: この積分(フーリエ変換)をF(ω)とおき、ωで微分。 その結果をtで部分積分すると再びF(ω)がでてきて F(ω)の微分方程式になるので、これを解く。
- m0r1_2006
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exp(-x^2/2) の不定積分は計算できないので,無駄な努力です. この不定積分で Error function とか言う名前の特殊関数の定義します. exp(-x^2/2) と exp(-(x-jw)^2) , j^2=-1, w は任意の実数 の x が [-Inf, Inf] までの定積分は計算できて, sqrt(pi) になります. 変数変換して,この定積分の形に変形してください.
- inara1
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間違えました。 ∫[ -∞,∞ ] 1/σ/√( 2*π)*exp{ -( t - μ )^2/( 2*σ^2) }*e^(-jωt) dt = exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 - j*ω*μ } = exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*cos( ω*μ ) - j*exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*sin( ω*μ ) です。
- inara1
- ベストアンサー率78% (652/834)
結果だけでいいのなら ∫[ -∞,∞ ] 1/σ/√( 2*π)*exp{ -( t - μ )^2/( 2*σ^2) }*e^(-jωt) dt = exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 + j*ω*μ } = exp{ -(1/2)*(σ*ω) }*cos( ω*μ ) + j*exp{ -(1/2)*(σ*ω)^2 }*sin( ω*μ ) になります。