指数分布の性質に関する質問です。

質問

S、Tをそれぞれパラメータλ、μの指数分布に従う確率変数とし、

P(S≦t) = 1-exp(λt)
P(T≦t) = 1-exp(μt)

となります。

ここで、U=min｛S , T｝　V=max｛S , T｝とおきます。

すると、P(U≦ｔ) = 1-exp｛-(λ＋μ)t｝ となります。（平均値は1/(λ＋μ)）

ここからが質問ですが、
P(V≦t) も同じく 1-exp｛-(λ＋μ)t｝　になりますでしょうか？

またこの時、U と V の差の平均値は 0 ということで良いのでしょうか？

できれば導出過程も添えて、回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> P(S≦t) = 1-exp(λt)
> P(T≦t) = 1-exp(μt)

は
P(S≦t) = 1-exp(-λt)
P(T≦t) = 1-exp(-μt)
の書き間違いですね。

> P(V≦t) も同じく 1-exp｛-(λ＋μ)t｝　になりますでしょうか？

いいえ、なりません。
P(V≦t) = P(max｛S , T｝≦t)
= P(S≦T≦tまたはT≦S≦t)
= P(S≦tかつT≦t)
= P(S≦t) P(T≦t)
={1-exp(λt)}{1-exp(μt)}
となります。
（SとTは独立ですよね？）

> またこの時、U と V の差の平均値は 0 ということで良いのでしょうか？

V-U = max｛S , T｝-min｛S , T｝=|S-T|
で、S=Tとなる確率が0であることから、そうはならないことが容易にわかります。
実際、期待値は
E(V-U) = 1/λ+1/μ-1/(λ+μ)-1/(λ+μ)
= {λ(λ+μ)+μ(λ+μ)-2λμ}/{λμ(λ+μ)}
= (λ^2+μ^2)/{λμ(λ+μ)} > 0
となります。

お礼

すみません初めから間違えていました。
非常に分かりやすい解説感謝しています。
回答ありがとうございました。