楕円の正規化条件

質問

今、楕円の最小二乗法のプログラムを書いているのですが、正規化条件の扱いがよくわかりません。

単純に
u = (A B C D E F)　　　　　　　　　（1）
ξ = (x^ 2 2xy y^2 2x 2y 1)　　　　(2)

で、
行列　M = (1 / N ) Σ ξ・ξt　　　　(3)　　ξt：ξの転値　　　　N：Σの数

の最小固有値に対する固有ベクトルをuとして採用するという計算をしているのですが、放物線になってしまいました。

標準的には
A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1　　（4）
が正規化条件として使われる、とあるのですが、これをどう扱っていいかわからないのです。

この論文を参考にしています
http://www.iim.cs.tut.ac.jp/~kanatani/papers/newlsellipse.pdf

回答No.4

ramayana

「(N^-1)Mu = λu の最小固有値に対する固有ベクトルを求めれば良いのでしょうか？」

N が正則行列（逆行列を持つ行列）と限らないので、(N^(-1))Mu = λu という形への変形は不可能と考えるべきでしょう。引用論文の 2 ページに (3) から (8) まで 6 種類の正規化の例が挙げられていますが、 (5) を除く 5 種類では、 N が非正則行列（逆行列を持たない行列）になります。ANo.3 の N も非正則行列です。

それより、次のようにして普通の固有値の計算に帰着させることができます。まず、M が正則行列であることを仮定します。観測データには誤差が付きものですが、観測データに誤差があれば、M は必ず正則行列になります。

すると、引用論文 2 ページの (15) 式 Mu = λNu は、

M^(-1)N u = (1/λ)u

と変形できます。そこで、行列 M^(-1)N の絶対値最大の固有値に対応する固有ベクトルを計算すれば、それが u になるのです。

なお、1/λ は、M^(-1)N の固有値です。もともと絶対値が最小のλを求めることになっていたので、その逆数である 1/λ に関しては、絶対値が最大のものを求めることになります。

回答No.3

ramayana

「(8)式を条件とした場合、重み行列Nはどうなるのでしょうか？」

添付図の通り。このNが (A B C D E F)N(A B C D E F)^t = AC – B^2 を満たす対称行列であることを確認してください。（(A B C D E F)^t は、(A B C D E F) の転置）

補足

ありがとうございます。

重み行列を使う場合は、

Mu = λNu (15)

の最小固有値に対する固有ベクトルを求める、とのことですので

(N^-1)Mu = λu

の最小固有値に対する固有ベクトルを求めれば良いのでしょうか？

回答No.2

ramayana

「M の最小固有値に対する固有ベクトルをuとして採用する」という方法では、

　　Ax^2+2Bxy+Cy^2+2(Dx+Ey)+F=0

で表される曲線が楕円であるという条件、すなわち、Ax^2+2Bxy+Cy^2 の部分が正定値２次形式であるという条件、さらに言い換えれば、AC-B^2>0 であるという条件を、どこにも使っていません。だから、推計結果が放物線や双曲線になっても何の不思議もありません。

　　A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1

の条件の代わりに、引用論文の（８）式

　　AC-B^2 = 1

を条件とすれば、楕円だけが推計されます。

なお、A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1 をどう扱っていいか分からない、ということですが、これは、引用論文の「重み行列N」を単位行列にする、ということです。ご質問の計算は、まさに、N を単位行列にとしておられます。

補足

詳しくありがとうございます。
(8)式を条件とした場合、重み行列Nはどうなるのでしょうか？

回答No.1

alice_44

その解法は、よく知らないが、
固有ベクトルを解にするのなら、
長さを決める規則は必要でしょう？