電磁波の電気エネルギー1/2εE2について

質問

電磁波の電気的エネルギーは1/2εE2（２乗）で表されるのですが、その導出の仕方が解りません。
本を見ると、式変形で
E・(∂D/∂t)→∂(1/2・εE2)/∂tとなっており
なぜ、1/2の項がでてきたのか？？です。
かなり初歩的なのかもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.3

nta

E・(∂D/∂t)→∂(1/2・εE＾2)/∂t
の誘導についてPoyintingの定理から補足しておきます。
ある体積v中に含まれる電界エネルギーをＷとすると、その体積vから流れ出すことによって変化する割合∂W/∂tは
∂Ｗ/∂t＝∂/∂t{(integral)(1/2εE^2)dv}
ここでＤ＝εE　と定義されるので
∂Ｗ/∂t＝∂/∂t{(integral)(1/2　D^2/ε)dv}={(integral)(D/ε ∂D/∂t)dv} = {(integral)(E∂D/∂t)dv}

積分の内部はエネルギー密度の変化分を表す＝流入するエネルギー密度を表すことになります。これに磁界の成分が加わって電磁波エネルギーのフローを表すことになります。これは誘電率εの値によらない表現となりますから、強誘電体内の伝搬にも使用できます。
繰り返しになりますが、電気的エネルギーが1/2εE2であることが前提になった展開です。

回答No.2

oshiete_goo

質問者の意図は(推測するに)
D=εE (ε:constant)
の状況のようで，
力学でよくある
v*d(mv)/dt = d(mv^2/2)/dt
と同じ話ではないのでしょうか.(今は偏微分ですが．)
的外れだったらお詫びします．

回答No.1

nta

E・(∂D/∂t)→∂(1/2・εE＾2)/∂t
これは強誘電体のように誘電率εがＥによって変化する場合のエネルギー密度変化分dw/dtを与える与える式ではないかと思います。
誘電率が変化しない場合には電界のエネルギー密度ｗは
ｗ＝1/2εE＾2
でしょう。この式の導出は静電界での静電エネルギーがＷ＝1/2 ×integral(V・ρ)dv
であることから発しています。これにE=-grad V, divD=ρ　を代入します。
　しかし、これは本来静電界のエネルギーを求めたもので、電磁波のような動的なものには適用できないはずです。ところがPoyntingがこの式を仮定することによってエネルギーの流れを示すことができたので以降この式が電磁波にも適用されることになりました。そういう意味では電磁波のエネルギーがこの式で表されるというのは仮定にすぎません。
　実際、実際の伝送線路や機器の内部の電界を定義する方法は一つではなくいくつかの定義が存在します。上式を使ってエネルギーから電界を定義するという方法もその一つなのです。どういう定義を用いるかでこの表式が変ってくるということにご注意ください。