単振動のエネルギー保存則の導出について 運動方程式

質問

単振動の運動方程式から、エネルギー保存則を導出する過程について分からない所があります。

　運動方程式：my''+ky=0 の両辺にy'をかけて変形する
　　　　　　　　　　　　↓
　d/dt (my'^2)/2 + d/dt (my'^2)/2 ・・・(1) （ここまでは、理解できます）

この後の操作が、参考書によって、(1)式を時刻t1からt2まで積分すると書いている場合と、時刻0からtまで積分すると書いている場合がありました。

A). t1～t2まで積分(t1での変位をy1、t2での変位をy2)
　(1/2)my2'^2 - (1/2)my1'^2 + (1/2)ky2^2 - (1/2)ky1^2 = 0 ・・・(2)
　ここから、運動エネルギーとバネエネルギーの和が時刻t1とt2で等しい 　　としているもの。

B). 0～tまで積分(tでの変位をy)
　(1/2)my'^2 + (1/2)ky2^2 = const.(一定)・・・(3) 　　　としているもの。

　ここで、気になったのが(1)式の右辺の0を積分する場合に、(2)式が0になるのは分かるのですが、(3)式で0を0～tまで積分した際に、0ではなくconst.となる違いがよく分かりません。(2)式で右辺がconst.となってもおかしいですし、(3)式で右辺が0になってもエネルギーがないことになってしまっておかしいので、導出された(2)式、(3)式とも正しいのは分かかるのですが....。

よろしくお願い致します。

回答No.1

c0nfus1an1sm · ベストアンサー

時刻tでの全エネルギーをE(t)と書いてみます．
A)の場合は，E(t1) = E(t2) ということで，kaerusyotyouさんの理解されている通りです．
B)の場合は，E(t) = E(0) を示した事になります．この等式は任意の時刻tで成立するので，
「E(t)はどの時刻でも一定の値 E(0)を取る」と表現する事もできます．
これが式(3)の E(t) = const. の意味になります．

お礼

B)の場合、A)と同じように考えれば、E(t)=E(0)=const.なんですね。
0～tまで積分する際に出て来るE(0)の項の存在を忘れていたため、理解できなかったみたいです。
スッキリしました、ありがとうございました！

回答No.2

hitokotonusi

その積分して得られる力学的エネルギーの不定積分をE(t)と書くとして、

E(t2) - E(t1) = 0

か、

E(t) = 定数

かでしょ。最初の式のt1を固定された時刻であるとすればE(t1)は定数になるので、
t2を時刻一般としてtと書き換えれば

E(t2) = E(t) = E(t1) = 定数

です。

お礼

”最初の式のt1を固定された時刻であるとすればE(t1)は定数になるので、t2を時刻一般としてtと書き換えれば”　のご指摘で、理解することができました。ありがとうございました！