微分演算子法

質問

微分演算子D＝d/dt　として、
x={1/(D^2-2D-8)}(t-14)e^t　　　　　・・・１
={e^t/{(D+1)^2-2(D+1)-8}}(t-14)　・・・２
=(e^t/(D^2-9))(t-14)　　　　　　　・・・３
=((-1/9)e^t/(1-D^2/9))(t-14)　　　・・・４
=((-1/9)e^t(1+D^2/9+・・・)(t-14)　・・・５

これはとある問題の解答の途中経過なのですが、この過程の中にわからない部分が二つあります。
1つ目、式１から式２への変形方法
微分演算子の分母　D^2-2D-8　から　(D+1)^2-2(D+1)-8　へ
どうやって変形するのでしょう？
少なくとも、１から３へは直接変形できませんから、２Dの項を何かに作用させたのだと思いますが、それはどれなんでしょうか？
あるいは何か微分演算子特有の公式があるのでしょうか？

2つ目、1/(1-D^2/9)　から　1+D^2/9+・・・への変形方法と『・・・』の意味
ここがさっぱりです。これはテイラー展開のような級数展開ですか？
後ろに・・・があるので近似のような気がするのですが。

どなたかお教えてください。よろしくお願いいたします。m(_ _)m

回答No.2

aiueo95240 · ベストアンサー

Tacosanさんへ。
これはいわば無限回の部分積分なのですよ。
質問文は間違っていません。

∫f(x)e^xdx=e^x{f(x)-f'(x)+f''(x)-f'''(x)+…}=e^x(1-D+D^2-D^3+…)f(x)=e^x{f(x)/(1+D)}
{f(x)e^x}/D=e^x{f(x)/(1+D)}

つまり、式１から式２への変形は、
D→D+1
なのですよ。

補足

返信が遅くなってしまい、申し訳ありません。

つまり、
{f(x)e^x/D}
の形の場合、常に
{f(x)e^x}/D=e^x{f(x)/(1+D)}
が成り立つという解釈でいいのでしょうか？

回答No.3

Tacosan

あ～, そうかそうか. [1/(D^2-2D-8)] = e^t {1/[(D+1)^2-2(D+1)-8]} e^-t, ですか. 了解です＞#2.

回答No.1

Tacosan

1つ目はお察しの通り「ただの間違い」です. 分母は D^2 - 2D - 8 = (D-1)^2 - 9 でなければなりません. この D-1 を D に変えると式3 が得られます.
2つ目もその通りで, ただのテイラー展開 (というかマクローリン展開) です. なので本当は 1 + D^2/9 + (以下 D^4 以上の項が続く) となるんですが, この演算子が掛かっている項が t-14 と 1次なので, 「…」で省略された高次の演算子は無視しても結果は変わりません... というか, 本当は D^2 の項も不要なんだけど.