極限の問題(少し難問)

質問

難問かどうかわかりませんが、理解できませんでした。大まかな考え方が理解できません。

(1)0以外の実数について、lim(n→∞)*{x^(n+1)-x^(-n-1)/x^n+x(-n)}を求める問題ですが、｜x｜と｜x^(-1)｜で区別する(すなわち｜x｜＜1,｜x｜=1,｜x｜＞1で場合わけする)らしいです。これがなぜかもわかりませんし、()内のすなわちもなんで同じことになるのかわかりません。

(2)lim(n→∞)*{7+6x+｜x｜-2x^2n/1-x^n+x^2n}のグラフの外形を描け、という問題ですが、｜x｜と｜x｜^2で場合わけする(すなわち、｜x｜＜1,x=1,x=-1,｜x｜＞1で場合わけする)らしいです。これもなぜこうするかわかりませんし、()内のすなわちが同じことになる理由もわかりません。

(1)(2)を通していえることですが、個人的に今までこの手の問題はr>1,r=1,｜r｜<1,r=-1,r<-1で場合わけして求めていたのですがすれではだめなのでしょうか。答えが変わってしまう気がします。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

まず表記ですが、分数部分が意味不明になっています。
括弧を多用して書いてください。

(2)Ｓ＝lim[n→∞]{7+6x+|x|-[2(x^(2n))/(1-x^n+x^(2n))]}と解釈します。

Ｐ＝7+6x+｜x｜-[2(x^(2n))/(1-x^n+x^(2n))]
Ｑ＝(x^(2n))/(1-x^n+x^(2n))
　　　　　　　　　(b)x=1の時　1/(1-1+1）(d)x=-1の時（振動）
　　　　　　　　　(c)|x|<1の時Ｑ→0/(1-0+0)
＝1/【[1/(x^(2n))]-[1/x^n]+[1]】
　　　　　　　　　(a)x>1の時、(e)x<-1の時　Ｑ→1/1
これは困る箇所がないよ

(a)x>1,(e)x<-1(b)x=1の時Ｓ＝7+6x+|x|-2
(c)|x|<1の時　　　　　　Ｓ＝7+6x+|x|
(d)x=-1の時　　　　　　Ｓは振動し、解なし

問題点？　普通にやってＯＫ
ーーーー

お礼

ありがとうございました。泥臭いやり方かもしれませんが、今までに自分のやり方でやります。

回答No.4

kkkk2222

(1)は　Ｐ＝lim[n→∞](x^(n+1)ーx^(-n-1)）/（x^n＋x^(-n)） では
ＡＢＣＤＥの順にｘ、０、－１/x、０、ｘで
ＡＥ、ＢＤ、Ｃの３グループ

あとは、こじつけです
Ｑ＝（x^(n+1)ーx^(-n-1)）/（x^n＋x^(-n)）・・・（１）
＝（x^(2(n+1))ー1）/（（(x^(2（n+1)））/x)）＋x) となり　x^2をひとかたまり
　ｘは正でも負でも、は同じ扱いが出来る｜x｜＜１
＝(1-x^((-2)(n+1)))/((1/x)+x^(-2)(n+1)*x)となり　x^(-2)をひとかたまり
　1/ｘは正でも負でも、は同じ扱いができ｜x｜＞１
更に（１）では±１で分子は０、分母は正　±１を｜x｜=1　と表現

この説明はひどすぎる、だれかを待とう。

ようするに始めからＡＢＣＤＥをやった方が速い。

回答No.3

kkkk2222

結論からいうと＜r>1, r=1, ｜r｜<1, r=-1, r<-1 ＞でよいと思います。　　　（Ａ）
そして同じ結果が出るものをまとめる。　　（Ｂ）

　　ちょっと、きになるのは
　　特異点（分母が０になるかたちがあったと思います）
例えば1/（ｒ-3)(r-2) が出現する時
　　r≠3,r≠2 を仮定されている、のはＯＫだけど、
場合わけするときに、何か影響を与えるはず。　（Ｃ）
まあこれは、極限だけではなく、いつも注意が必要だけど。

ようするに
５通り面倒だから可能なら、前もって同じ結果がでる物がわかればＳＭＡＲＴと言う事だと思います。
ーーーー
（１）は３通り（２）は４通りだし、それにといているうちに、まとめかたがわかるかも。
（Ａ）＋（Ｂ）で同じ結果にはなります。

回答No.2

kabaokaba

>突然出現した r が何なのかがわかりません。

多分，koku_uさんは十分承知の上で書かれているわけで
わざわざいうのは無粋なのは承知の上ですが，
等比数列の公比のことなんでしょうね，rというのは．

今回「も」なんですが。質問では
一意に意味を特定できないんですよね．
今回もどこまで分母かとか，指数はどこまでかとかが
特定できません．

それで，この問題ですが，基本はあくまでも
等比数列の収束性ですので，
公比の絶対値が1，1未満，1より大
で処理するのですが，
(1)(2)ともに

等比数列の収束性に持ち込んだ場合に
公比に相当する部分はどこか

ということに注目するだけです．

こういう問題が理解できないならば
Xで考える前に，もっと具体的な数字の問題を徹底的に練習しましょう．
また，Xで分からなければ，Xに具体的な値，
それも極端な値（10000とか0とか-10000のような）を入れてみて
実験を繰り返しましょう．
徐々に「挙動が変わりそうな値」にしていきます．
今回の場合，(1)(2)ともに「x^n」とか「x^{2n}」があるようだから
「挙動が変わりそうな値」は
|x|=1とか|x^2|=1だということは
自分で指摘している「公比」と収束性の性質から分かるでしょう．
そうすれば，どういう値で区切られるのかは検討が付くでしょう．

いきなり「解答」を書こうとしてはいけません．
解答は最後の最後に行う整理にすぎません．
そこに至るまでに無数の試行錯誤が存在するのです．
試行錯誤の結果，「こうすれば答えがでてくるはず」の道筋や
答えそのものがでてくるものです．
こういう試行錯誤をきちんとできるようにしておかないと
実際には何の勉強にもなりませんし
模範解答を見たって「何でこんなことするんだ？」という
今のような状況になるだけです．

回答No.1

koko_u_

突然出現した r が何なのかがわかりません。

補足

すみません。r=xと考えていただければいいでしょうか。というよりはこの手の問題を考えるときの場合わけの考え方を一般化したものです。問題集の要点などに書いてあるものです。