無限等比級数の極限の問題でのわからないこと。

質問

◎問題◎

xの関数
f(x)=lim (n→∞)　(x^n+2x+1)/{x^(n-1)+1}

このグラフをかけ。

◎わからないこと◎

この手の問題では
|x|<1 |x|>1 x=±1

という場合分けをしますよね。

この問題でx=-1のときについて
nが偶数のときは分母が0になるので
「f(-1)は定義できない」とかかれています。

しかしnが奇数のときは分母は0になりません。

そこのところがどうしても
本当に分かった気がしなくて
気持ち悪いです。

nにタブーなものがひとつでもあるだけで
だめになってしまうのでしょうか？

この問題で求めさせられているグラフは
どのような意味をもつのかもいまいち…です。

関数なのに作業が入っているというか…。

すごい訳の分からない質問ですが
どなたかこの核(？)みたいな部分を
わかりやすく説明していただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

No1です。

ANo1の補足の質問について

>やはり未定義ということになるのでしょうか？
そう、x=-1でf(x)は未定義ということです。

ANo4の補足の質問について

>とあるfn(x)がn=1,3の2例のみ
>定義できない関数であったとして
>それは大きく見れば対して ← ?
>問題ないからOKで
>(↑についても
>なんでなのか少し気になります…)
あるxで、十分大きなNに対して、n>Nを満たすnについて
全てのfn(x)が定義されていれば、f(x)=lim(n→∞)fn(x)は
定義されているということです。

>しかし「偶数はだめ」という
>どんなに大きくしていっても
>必ず交互にあらわれてしまう偶数だから
>タブーになるということで
>あっていますでしょうか？
表現の仕方はともかくとして、その通りです。
いくらNを大きくとっても
n>Nを満たすnについて、あるxの所でfn(x)が全て定義されていることが言えなければ、やはりそのxでf(x)は未定義ということになりますね。

>だとしたら
>今は偶数なので1コおきですが

>例えば1000000000コおきでも
>「必ず」タブーがその規則で現れるなら
>それは定義できないということで
>あっていますでしょうか？

その通り、定義できないです。あってます。

お礼

>あるxで、十分大きなNに対して、n>Nを満たすnについて
>全てのfn(x)が定義されていれば、f(x)=lim(n→∞)fn(x)は
>定義されているということです。

という説明で合点したような気がします！！！

つまるところfn(x)はあるxでのnの無限大のところでの
ふるまいということですよね！？

国語力が本当に乏しくてすいませんでした…。

何度も回答有難うございました(*^^*)♪♪

回答No.4

alice_44

A No.2 が、正解。

＞　n にタブーなものがひとつでもあるだけで
＞　だめになってしまうのでしょうか？

そんなことはない。

f(x) = lim[n→∞] f_n(x) に関して、
f_n(x) を定義できない n が
一つや二つ在っても気にする必要は無いが、

N をどんなに大きくしても n > N の範囲に
f_n(x) を定義できない n があるようだと、
その x については f(x) を定義できない。

質問の x = -1 は、後者のケースにあたる。

お礼

回答有難うございます(*^^*)

つまり、例えば
とあるfn(x)がn=1,3の2例のみ
定義できない関数であったとして
それは大きく見れば対して
問題ないからOKで
(↑についても
なんでなのか少し気になります…)

しかし「偶数はだめ」という
どんなに大きくしていっても
必ず交互にあらわれてしまう偶数だから
タブーになるということで
あっていますでしょうか？

だとしたら
今は偶数なので1コおきですが

例えば1000000000コおきでも
「必ず」タブーがその規則で現れるなら
それは定義できないということで
あっていますでしょうか？

回答No.3

ereserve67

この手の問題は「関数とは何か」ということを学ぶために作られたものだと思います．あるいは自然数nをパラメータとしてもつ関数列{f_n(x)}が[0,1]で連続でも，その極限関数

lim_{n→∞}f_n(x)

は[0,1]で必ずしも連続ではないということを学ぶための実例とも言え，「関数列の一様収束」の概念を学ぶための問題ともいえるでしょう．

だから，この問題自体にさほど核といえるものはないと思います．ただx^nという列はよく出てくるので実用的には重要ですが，この問題自体は関数概念や一様収束概念という重要な概念を学ぶための一例にすぎないと思います．

この手の議論は大学で微積分を学びなおすときに数学系に人にうるさく言われるので敬遠されがちですが，現代科学の基礎をなす数学はそうやって発展してきました．

例えば

1+x+x^2+・・・+x^n+・・=1/(1-x) (|x|<1)

という無限等比級数公式があります．この両辺を微分すると

1+2x+・・・+nx^{n-1}+・・・=1/(1-x)^2 (|x|<1)

という式を得ることができます．これは正しいことが分かっていますが，左辺は

(d/dx)Σ_{n=0}^∞x^n=Σ_{n=0}^∞(d/dx)x^n
=Σ_{n=1}^∞nx^{n-1}

というd/dxとΣの2つの極限操作を入れ替えてやっています．このような無限級数を項別微分することが許されることは関数列の一様収束性に関係しています．

NewtonやFourier，Heaviside,Diracといった人たちは，数学的理論を今でいうと乱暴に使っていました．それはそれで意味ある結果が導かれたり，実用的に便利だったりしたので重宝されました．それでかなり科学が進歩しました．しかし，乱暴な手法はときに間違いも導いたので，Weierstrassといった数学者たちがこれらを厳密化することにある程度成功しました．それで，われわれは安心してこれらの結果や手法を使うことができます．

だから，こういう如何にも人為的な問題に遭遇してすっきりしなくても，重要概念を学ぶ道具に違いないと思って，それらを将来学ぶのを楽しみにしていたらいいと思います．個別の問題に深入りする必要はないと思います．ただ，疑問に感じたことを考え抜くのは重要なことなのであれこれ考えてみて下さい．あまりふりまわされないように．

お礼

回答有難うございます(*^^*)

はやく大学で数学を
勉強したいなあと思いました。

回答No.2

Tacosan

「nにタブーなものがひとつでもあるだけでだめになってしまう」ということはありません. 1つなら, それを除外して考えればいいです.

でも, 今の場合「1つ」じゃないよね.

お礼

回答有難うございます(*^^*)

除外して考えるときは
やはり断るべきですか？

そのままOKとして
よいのでしょうか？

回答No.1

info22_

>nにタブーなものがひとつでもあるだけで
だめになってしまうのでしょうか？

その通りです。
同じx=-1に対してf(x)が一意に確定できなければ、f(x)はそのxで未定義ということになります（xに対するf(x)が定義できない）。

f(x)
=(2x+1) (|x|<1のとき)
=x (|x|>1のとき)
=2 (x=1のとき。f(x)はx=1で不連続)
=未定義 (x=-1のとき)

となります（f(x)のグラフを添付します）。

質問の関数で未定義のxのところは
f(x)=-1 (x=-1のとき)
と定義してやることは可能です。
そうすれば全ての実数xに対してf(x)が定義されることになります。

お礼

回答有難うございます(*^^*)

すこし混乱してしまいましたが
やはり未定義ということになるのでしょうか？