不等式の証明問題

質問

0≦a≦1, 0≦b≦1のとき、

a/(1-a^2) - b/(1-b^2) - (a+b)/(1-ab) ≧0を示せという問題なのですが、何をどうすればいいのか見当がつきません。どういう意図を持ってどういう式変形していけば良いのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

回答No.1まさしくその通り。問題をいい加減に写してません？

●でもま、例えば
0≦a＜1, 0≦b＜1のとき
ってことにしましょうや。

そこで、試しにa=0, b=1/2を代入してみると
a/(1-a^2) - b/(1-b^2) - (a+b)/(1-ab)
= 0/(1-0) - (1/2)/(1-(1/2)^2)-(0+1/2)/(1-0)
=- (1/2)/(3/4)-(1/2)
=-2/3-1/2 = -7/6
あららら。
「0≦a＜1, 0≦b＜1のとき、a/(1-a^2) - b/(1-b^2) - (a+b)/(1-ab) ≧0である」は偽です。
変形もへったくれもなくて、まずこの命題ホンマカイナと疑う所からスタートですかね。
問題の写し間違いは致命的です。

●でもま、例えば
a/(1-a^2) + b/(1-b^2) - (a+b)/(1-ab) ≧0を示せという問題
だったとでもしましょうや。

いちいち長い式を書くのが面倒なので
f(a,b)=a/(1-a^2) + b/(1-b^2) - (a+b)/(1-ab)
とfを定義し、f(a,b)と書いて右辺の式の意味であるということにします。

　さてこの場合、分母に現れる(1-a^2)、(1-b^2) 、(1-ab)がいずれも0≦a＜1, 0≦b＜1のとき正の値を持つことに気が付けば
g(a,b)=(1-a^2)(1-b^2)(1-ab)f(a,b)
はf(a,b)と同じ符号を持つことが分かります。だから、右辺を展開して
g(a,b)= a^3+b^3-a(b^2)-(a^2)b
さらに因数分解して
g(a,b)= ((a-b)^2)(a+b)
を得ます。((a-b)^2)≧0であり、(a+b)も0≦a＜1, 0≦b＜1のとき非負ですから、
0≦a＜1, 0≦b＜1のときg(a,b)≧0
ゆえに
0≦a＜1, 0≦b＜1のときf(a,b)≧0
です。
ついでに、f(a,b)=0となるのはa=bおよびa=-bの場合だけであることも分かりますね。

＊本来の問題が何なのか分からないので、アドバイスです。

お礼

こんにちは。すみません、問題文に関してはNo,1を見ていただければ幸いです。

＞でもま、例えば 0≦a＜1, 0≦b＜1のときってことにしましょうや。
はい、そのとおりです。すみません。

＞でもま、例えば a/(1-a^2) + b/(1-b^2) - (a+b)/(1-ab) ≧0を示せという問題
だったとでもしましょうや。

はい、その通りです。(tanA + tanB)/2 なので、プラスですね。失礼しました。すみません、正しい問題文は、仰るように 0≦a＜1, 0≦b＜1のときa/(1-a^2) + b/(1-b^2) - (a+b)/(1-ab) ≧0 を示せという問題です。

＞問題の写し間違いは致命的です。
すみません、肝に銘じておきます。

＞g(a,b)= a^3+b^3-a(b^2)-(a^2)b さらに因数分解して g(a,b)= ((a-b)^2)(a+b)

すみません、この因数分解がよくわからないのですが、どういう手順でそのように因数分解できるのですか？

＞0≦a＜1, 0≦b＜1のときg(a,b)≧0 ゆえに
0≦a＜1, 0≦b＜1のときf(a,b)≧0 です。

なるほど！一瞬ちょっと止まっちゃいましたが、初めのほうの御説明に戻るとその疑問も解決できました。ありがとうございます。

回答No.4

stomachman

a^3+b^3-a(b^2)-(a^2)b
=(a^3-(a^2)b) - (a(b^2)-b^3)
=((a^2)a-(a^2)b) - (a(b^2)-b(b^2))
=(a^2)(a-b) - (a-b)(b^2)
=(a-b)(a^2) - (a-b)(b^2)

こういうのはもうある程度練習して自信を付ける方がよいと思います。式を変形するのが苦痛だと、「試しにちょっとやってみよう」ということができませんからね。

お礼

どうもお返事ありがとうございます！
とても詳しくやっていただいたのでようやくわかりました。
気づけばあれなんですが、目が動きませんでした。
式を見る目が必要ですね。慣れていきます。

回答No.3

stomachman

＞g(a,b)= a^3+b^3-a(b^2)-(a^2)b さらに因数分解して g(a,b)= ((a-b)^2)(a+b)

因数分解については
a^3+b^3-a(b^2)-(a^2)b
=(a-b)(a^2)-(a-b)(b^2)
=(a-b)(a^2-b^2)
=(a-b)(a-b)(a+b)
=((a-b)^2)(a+b)
で如何でしょうか。

お礼

お返事どうもありがとうございます。
＞a^3+b^3-a(b^2)-(a^2)b
=(a-b)(a^2)-(a-b)(b^2)
すいません、この変形のところもよくわからないのですがどう式を見ればよいのでしょうか？

回答No.1

ranx

問題に不備があります。
a=1の時a/(1-a^2)の値はありませんし、
b=1の時b/(1-b^2)の値はありません。
共に1の場合は(a+b)/(1-ab)の値もありません。
よって与式は示すことができません。

お礼

どうもすみません、問題文を勝手に省略しました。全部抜き出します。

(1) a=tanA/2 , b=tanB/2 のとき、tan(A+B)/2をa,bで表せ。
(2) 0≦A<90, 0≦B<90 のとき、
(tanA + tanB)/2 ≧ tan(A+B)/2を示せ。

0≦A/2 <45, 0≦B/2 <45 だから、0≦a<1, 0≦b<1ですね。

ゴメンナサイ。