不等式の問題

質問

数学が得意な人教えてください。
できれば、詳しく教えてほしいです。
問題
（１）0<a<3　のとき、
｛√（a＾2＋4a＋4）　｝＋｛√（a＾2-6a＋9)｝の値を求めます。

自分の考え、
0<a<3　が条件で
｛√（a＾2＋4a＋4）　｝＋｛√（a＾2-6a＋9)｝
＝｛√(a＋２）＾2｝＋｛√(a＋3）＾2｝
＝|a＋2|＋｜a-3|

公式より
(√（A)＾2)=｜A|ですが、
不等式の範囲が苦手で、
0<a<3　からどのように求めるかわかりません。

問題
（２）不等式が成り立つことを示す。（a,bは実数とする）
|a|＋|b|≧｜a＋b|
より（自分の考え）
両辺を０以上にすればいいから、
｛（左辺）＾２｝ー｛（右辺）＾２｝≧０
と示せばいい。
＝|a|＾2 ＋2|a||b|＋|b|＾2 ー（a＾2 ＋2ab＋b＾2)
=2|ab|-2ab

このあと、どのように表すかわかりません。
詳しく、教えてください。

回答No.6

eatern27

0<a<3
から、
2<a+2<5
となる事と、
-3<a-3<0
となる事を導けるのは#5での回答で分かったのでしょうか？

分かったものとして進めたいのですが、もし分からないのなら、補足をください。
＞0<a<3より、0<2<a+2,a-3<0なので
まず、これは、「0<a<3から、0<2<a+2という事と、a-3<0という事を導けるので、」という意味です。

導ける理由は先ほど書いた通りなのですが、
ここでは、絶対値の記号をはずすために、a+2やa-3が0以上か0以下かを求めるのが目的です。
だから、a+2が正の数か負の数かを求めるために
0<a<3
の各辺に2を足して、
2<a+2<5
として、"a+2"の項を作ったのです。
そして、このa+2が正の数か負の数かどうかをみてみると、a+2は２より大きくて、5より小さいので、正の数です。「0より大きい」という事を強調するために
"0<"というのを付け足して、「5より小さい」という情報は絶対値をはずす上では必要のない情報なので、省きました。
その結果、「0<2<a+2」と書きました。

同様にa-3<0というのも、本来なら「-3<a-3<0」と書くべきなのかもしれませんが、絶対値をとる時に-3<a-3という情報は必要ないので、省いて「a-3<0」と書きました。

＞ab<0だから、-ab>0ですので
要するに、負の数に-1をかけると、正の数になる、ということです。

ab<0ということは、abは0より小さい、つまり、abは-1,-1/3,-3.567などの負の数です。
abに"-1"をかけると、-abとなり、-abは0より大きくなります。
例えば、(-1)*(-1)=1だし、(-1/3)*(-1)=1/3です。

回答No.5

eatern27

A<Bの時、A+C<B+Cとなります。

この事は分かるのでしょうか？
もし、分からないのなら、
x-2=5
という方程式があった場合、どう解きますか？
両辺に2を足して、
(x-2)+2=5+2
x=7
のように両辺に同じ数を足して解きますよね？
A+C<B+Cはそれのお化けだと思ってください。

分からないのなら、そういう物だと思ってください。

＞ここで、0<a<3より、0<2<a+2,a-3<0なので
0<a<3
この各辺に"+2"をします。
0+2<a+2<3+2
整理すると
2<a+2<5

0<a<3
この各辺に"-3"を足します。("3"を引きます。)
0-3<a-3<3-3
整理すると
-3<a-3<0

と、なるのです。分かったでしょうか？
＞ab＜0のとき、|ab|=-ab>0>ab
まず、|-3|=3となります。
絶対値のなかみが負の数の場合は、結果だけをみれば、「絶対値の中身の"－"をとった」ように見えます。もう少し数学っぽく言えば、「絶対値の中身に-1をかけたように見えます。
したがって、
ab<0の時は
|ab|=-ab となります。
ab<0だから、-ab>0ですので、
|ab|=-ab>0
また、0>ab だから、
|ab|=-ab>0>ab
だから、
|ab|>ab

できるだけ詳しく書いたつもりですが、分からない箇所があれば、補足へ。

補足

たびたび、すいません。

0<a<3より、0<2<a+2,a-3<0なので
の意味がよくわかりません。

それから、
ab<0だから、-ab>0ですので
これも、よくわかりません。
どうも、中学のレベルがよくわからなくて、すいません

回答No.4

eatern27

どちらも後一歩です。
(1)
{√(a^2+4a+4)}+{√(a^2-6a+9)}=|a＋2|＋｜a-3|
ここで、0<a<3より、0<2<a+2,a-3<0なので、
|a+2|=a+2,|a-3|=-(a-3)=-a+3
よって、
{√(a^2+4a+4)}+{√(a^2-6a+9)}=(a＋2)-(a-3)=5

(2)
{(左辺)^2}-{(右辺)^2}≧2|ab|-2ab=2{|ab|-ab}
ここで、
ab≧0のとき、|ab|=ab
ab＜0のとき、|ab|=-ab>0>ab ∴|ab|>ab
以上より|ab|≧ab ⇔ |ab|-ab≧0
よって、
{(左辺)^2}-{(右辺)^2}≧2{|ab|-ab}≧0
⇔(左辺)^2≧(右辺)^2
⇔(|a|＋|b|)^2≧｜a＋b|^2
|a|+|b|≧0,|a+b|≧0なので、
|a|+|b|≧｜a＋b|

必要以上に詳しく書いてみました。

補足

くわしく、教えていただいたのに、まだよくわからない点があって。
（１）
ここで、0<a<3より、0<2<a+2,a-3<0なので

の所が。
できれば、中学レベルでおしえてください。

（２）では
ab＜0のとき、|ab|=-ab>0>ab
のところが。
すいません

回答No.3

noname#24477

ほとんどあっています。
あとは最後の詰めだけですね。

０＜ａ＜３のとき

２＜ａ＋２＜５ですから　
ａ＋２＞０　よって　｜ａ＋２｜＝ａ＋２

－３＜ａ－３＜０ですから
ａ－３＜０　よって　｜ａ－３｜＝－ａ＋３
負のときは絶対値をはずすと符号が反対になるのがポイントです。

（２）絶対値記号を付けると正の数なら変わらないし
負の数なら正になるわけだから大きくなる。式で書けば
|x|≧ｘ
です。だからあなたの計算で終わっています。
2|ab|≧2ab　だから　2|ab|-2ab≧０　です。

補足

（１）の方でわからないところがあるので、おしえてください。

０＜ａ＜３のとき

２＜ａ＋２＜５ですから

がよくわかりません。
同じく
－３＜ａ－３＜０ですから

できれば、中学レベルでおしえてください

回答No.2

watapen

第1項は
sqrt{(a+2)^2}=|a+2|
0<a<3より
第1項はa+2が確定

第２項は
sqrt{(a-3)^2}=|a-3|
0<a<3より
第2項は-a+3が確定

だからa+2-a+3=5なのかな？

（２）
｜a|＋|b|≧｜a＋b| ≧0
正の数の範囲では２乗しても大小関係はかわらない
だから
｛（左辺）＾２｝ー｛（右辺）＾２｝≧０
と示せばいい。
＝|a|＾2 ＋2|a||b|＋|b|＾2 ー（a＾2 ＋2ab＋b＾2)
=2|a||b|-2ab ≧0

回答No.1

kyousantou

＞自分の考え、
0<a<3　が条件で
｛√（a＾2＋4a＋4）　｝＋｛√（a＾2-6a＋9)｝
＝｛√(a＋２）＾2｝＋｛√(a＋3）＾2｝
＝|a＋2|＋｜a-3|

ちょっとした計算間違いがあります
２行目の｛√(a＋3）＾2｝は｛√(a-3）＾2｝と
できますので、a-3のところが0<a<3だと負になるので
絶対値の中がマイナスになります