正規分布f(x)の微分の仕方

質問

１　　　　　-{(x-μ)^2/(2σ^2)}　
f(x)= ―――――　e
　　　 √(2π)・σ

このy=f(x)を微分してグラフを描くという問題なのですが、
まず、このf(x)の微分の仕方でつまづいています。

1／√(2π)・σの部分はxにかかっていないのでそのままだとして、
eの-{(x-μ)^2/(2σ^2)} を微分すると

　　 　　　 (x-μ)^2 　 　-{(x-μ)^2/(2σ^2)} 　　　　１
y'= － ―――――　e　　　　　　　　　　　×―――――
　　　　　 2σ^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　√(2π)・σ
だと思うんです。
ここでy'=0になるためにはx=μであって…

という風になってしまい、どうもうまくできません。
できたら計算の経過なども解説してもらえたらうれしいです。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

正規分布のグラフは，例えば
http://www.saga-ed.go.jp/materials/edq01442/seiki/node1.html
にあります．
このグラフは質問の式で σ=1，μ=0 としたものです．
μは分布の中心をずらすだけ(中心が x=μになった)，
σは軸のスケールを変えるだけ(平たくしたり，とがらしたり)ですから，
グラフの定性的な形は同じです．

質問の計算で，e^(-A) の形のもの(e の肩に A)を微分すれば
-(dA/dx) e^(-A)
ですね．
(dA/dx) のはずのところが A そのものになっていますよ．

y' がゼロになるのは x=μ のところです．
これはグラフの形と話が合っていますね．
あと，x→±∞ でも y'→0 になります．
これは，指数関数の部分から来ています．

もう少し明確にするのでしたら，y'' を計算して
変曲点を調べればよいでしょう．
分布の中心では上に凸，裾に行く途中で下に凸に変化します．

お礼

とても丁寧に説明してくださって、本当にありがとうございます。
x=μでよかったんですね！
http://www.saga-ed.go.jp/materials/edq01442/seiki/node1.html
のホームページもとてもわかりやすかったです。
さっそくy''についても計算して、変曲点ももとめてみようと思います。
またわからないことがあったらよろしくお願いします。

補足

>質問の計算で，e^(-A) の形のもの(e の肩に A)を微分すれば
>-(dA/dx) e^(-A)
>ですね．
>(dA/dx) のはずのところが A そのものになっていますよ．
のご指摘、本当にありがとうございました。

そこで計算してグラフを描いてみたところ、
分布の中心がμ、そのときのyが1/(√2π・σ)ということになったのですが
これでよいのでしょうか？
また、σ=1，μ=0のグラフについては
分布の中心が0、そのときのyが1/(√2π)ということになりました。
あっているか不安なので、よろしければご指摘お願いします。
たびたび申し訳ありませんがよろしくお願いします。