f(x)がx=aで微分できるか

質問

xf(x)が、ある点a(a ≠0)で、微分できるとし、またfがaで連続だとすると、fがx=aで微分可能であることを示せという問題なのですが、
xf(x)を微分してみて、
(xf(x) )'=x(f(x))'+f(x)という風になると思うのですが、ここでよくわからないのですが、

もしf(x)がaで微分不可能だとしたら、a(f(a))'+f(a)の値はどうなるのでしょうか？
只単にf(a)だけになるのでしょうか？

もしこれでa(f(a))'+f(a)の値がf(x)がaで微分できないから値なしということならば、値はあるはずだからaで微分可能という風になるのかなと思いまして...

回答よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>xf(x)を微分してみて、
>(xf(x) )'=x(f(x))'+f(x)という風になると思うのですが、ここでよくわからないのですが

こうなるとは限りません．
なるかもしれない，ならないかもしれない．
どちらにしろ，確定するには証明が必要．

積の微分の公式には前提条件があります．
fとgが微分可能のとき
(fg)'=f'g+fg'
なのであって，fやgが微分可能か不明なときは
この公式は一切何も教えてくれません．

もとの問題は

(f(x)-f(a))/(x-a)

の極限をなんとかして計算するしかないでしょう．

この場合，xf(x)がx=aで微分可能ということから

xf(x)-af(a) = xf(x)-af(x) + af(x)-af(a)
= (x-a)f(x) + a(f(x)-f(a))

なんて計算を念頭におけば

f(x)-f(a) = (1/a) ( xf(x)-af(a) ) - (x-a)f(x)/a

(f(x)-f(a))/(x-a)
=
(1/a) (xf(x)-af(a))/(x-a) - f(x)/a

なんて式が導けます．
ここまできたらもう，おわりで

fがx=aで連続だから
f(x)/a -> f(a)/a (x->0

xf(x)がx=aで微分可能だから

(xf(x)-af(a))/(x-a) -> A (x->a)
なる値Aが存在する

よって
(f(x)-f(a))/(x-a) -> (A-f(a))/a

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ここまでくると「大胆に計算」して

(xf(x))' = f(x)+xf'(x)なわけだから
x=aのとき
A=f(a)+af'(a)
つまり
f'(a) = (A-f(a))/a
となって，不自然ではないわけです．

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>もしf(x)がaで微分不可能だとしたら、a(f(a))'+f(a)の値はどうなるのでしょうか？

問題はfがx=aで微分可能になることを証明せよだから
こういうことが起こらないことを示すことになりますが
そもそも積の微分を無批判に適用しているので
ある意味ではナンセンスです．

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はてさて，それでは a=0 のときはどうなのでしょう．

xf(x)がx=0で微分可能
fがx=0で連続
このとき
fはx=0で微分可能か．

実はこの場合fはx=0で微分できるとは限らなくって
反例も簡単にできます．

お礼

回答ありがとうございます。そもそもｆ、ｇが微分できないと成り立たないんですね。。。