f(x,y)=√(?xy?)の全微分可能性について

質問

f(x,y)=√(?xy?)の全微分可能性について
f(x,y)=√(?xy?)の点(0,0)における全微分可能性について、全微分可能の定義に従って調べております。先日、アドバイスをいただいたことを参考に考えてみましたが、この考え方でよろしいのか、チェックしていただければと思います。
Δf=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)より
Δf=√{?(x+Δx)(y+Δy)?}-√(?xy?)で、x=0,y=0を代入すると、
Δf=√(ΔxΔy)
ここで、(Δx,Δy)→(0,0)より、
Δf=0
よって、Δf=0Δx+0Δy+0√{(Δx)^2+(Δy)^2} と表せるので、全微分可能

以上、宜しくお願い致します。

回答No.3

aquatarku5 · ベストアンサー

ANo2への補足（修正）です。失礼いたしました。

・右辺第3項の説明のところで、
　（誤）(Δx,Δy)→(0,0)の時に、{Δf-(AΔx+BΔy)}→0　です。
　（正）(Δx,Δy)→(0,0)の時に、{Δf-(AΔx+BΔy)}/|(Δx,Δy)|→0　です。
　　　　※分子が0に近づくスピードが、分母が0に近づくスピードより速いの意。

・参考URLの文字列の後ろが切れてしまっていました。再掲します。
　http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/TotalDifferential2VarFnctn/DefTotalDifferential.htm

お礼

aquatarku5様ご丁寧なご説明ありがとうございました。

回答No.2

aquatarku5

>Δf=√(|ΔxΔy|)
>ここで、(Δx,Δy)→(0,0)より、
>Δf=0
>よって、Δf=0Δx+0Δy+0√{(Δx)^2+(Δy)^2} と表せる
→「よって、・・・」が誤っています。

全微分の定義に立ち返ると、
Δf=AΔx+BΔy+o[√{(Δx)^2+(Δy)^2}]　と定数A,Bを用いて表せるか
どうかがキーです。
右辺第3項は、orderのoで、0(zero)ではありません。意味は、
(Δx,Δy)→(0,0)の時に、{Δf-(AΔx+BΔy)}→0　です。

本ケースの場合、(Δx,Δy)→(0,0)の近づき方によって、A,Bが異なることとなります。
・Δy=0で、Δy→0の場合；
　Δf=0=0Δx+０Δy
・Δx＝Δyのまま、(Δx,Δy)→(0,0)の場合
　Δf=|Δx|=±1・Δx+0Δy
=|Δy|=0Δx±1・Δy
等となり、A,Bが定数となりません。したがって、全微分可能ではありません。

#「全微分」に関し、参考URLも付けました。お役に立てるといいのですが。

参考URL：

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/TotalDifferential2VarFnctn/DefTotalDi

回答No.1

aquatarku5

まず、f(x,y)=√(?xy?)　の「?」が何を表しているか不明ですが、仮に
括弧として話を進めてみます。

Δf=√(ΔxΔy)　で、(Δx,Δy)→(0,0)のときΔf→0ですが、

Δf／|(Δx,Δy)|は、どんな経路を通っても0に近づくとはいえないので、
Δf=0Δx+0Δy+o[√{(Δx)^2+(Δy)^2}] と表せません。

※Δx=Δrcosθ、Δy=Δrsinθ　とすると、
　Δf／|(Δx,Δy)|=√(sinθcosθ)　で、Δr→0のとき、θの値によっては
　0に近づきません。

よって全微分可能ではない。

補足

aquatarku5様ありがとうございます。??の記号は絶対値の記号を入力しましたので、
f(x,y)=√(|(xy)|)です。大変ご迷惑おかけ致しました。
Δf=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)より
Δf=√{|(x+Δx)(y+Δy)|}-√(|xy|)で、x=0,y=0を代入すると、
Δf=√(|ΔxΔy|)
ここで、(Δx,Δy)→(0,0)より、
Δf=0
よって、Δf=0Δx+0Δy+0√{(Δx)^2+(Δy)^2} と表せるので、全微分可能である。
このような展開でよろしいのでしょうか？