正規分布の偏微分について

質問

正規分布の確率密度の式p(x)=1/2πσ^2e^-(x-μ)^2/2σ^2があり
このときのσ^2とμを偏微分した計算式はどうなりますか？
できれば、式の過程も教えていただけると助かります。

回答No.2

jamf0421

これはもしかして最尤法の勉強のためですか？
まず正規分布の式は
f={1/√(2π)σ}exp[-(x-μ)^2/2σ^2]...(1)
です。係数を2乗しているように見えます。これをμの関数としてみて微分する場合、係数はμを含まないからexpの微分だけです。exp(x)の微分は同じexp(x)ですから、あとは合成関数の微分で-(x-μ)^2/2σ^2をμで微分して、expにかけてやればいいだけです。-(x-μ)^2/2σ^2の微分は簡単で(x-μ）/σ^2です。よってまとめてかけば
df/dμ={1/√(2π)σ}exp[-(x-μ)^2/2σ^2]((x-μ)/σ^2)...(2)
になります。df/dμ=0になるところは、正規母集団N(μ,σ^2)からある標本測定値xを得たときにそのxからμを最も尤もらしく推定する値を与えます。x=μですからたった１点の測定ではそこが平均値μの最尤推定値になります。もしｎ個の測定値(X1, X2, ...Xi...Xn)があるならば、
F=(1/√(2π)σ)^n・exp[-(1/2σ^2)Σ（Xi-μ)^2]...(3)
の極大を与えるμを出す問題になります。これはFを直接微分するよりもlnFをとって微分し、これをゼロとおくのがやり易く、結果だけかけば
dlnF/dμ=(1/σ^2)Σ（Xi-μ)=(1/σ^2){ΣXi-nμ}=0...(4)
となります。これから
μ=(1/n)ΣXi...(5)
がμの最尤推定値ということになります。

σ^2で微分するにはσ^2=τとでもおいて
f={1/√(2πτ)}exp[-(x-μ)^2/2τ]...(6)
として上と同様に計算します。今度は係数にもτが入りますので、係数の微分にexpをかけたものプラス、係数そのままでexp側を微分したものです。expの微分は合成関数の微分です。多分
df/d(σ~2)=df/dτ={τ^(-5/2)/2√(2π)}exp[-(x-μ)^2/2τ][-τ+(x-μ)^2]...(7)
となると思います。df/dτ=df/d(σ^2)=0の場所はσ^2の最尤推定値を与えます。
τ=σ^2=(x-μ)^2...(8)
ということになります。たった一個ですとμ=xと考えることになるので、あまり意味がありません。
これもn個の測定値を考えlnFをσ^2で微分してゼロとおけば
dlnF/dτ=-(n/2τ)+(1/2τ^2)Σ(Xi-μ)^2=0...(9)
となります。これより
τ=σ^2=(1/n)Σ(Xi-μ)^2...(9)
という最尤推定値を得ます。
なお、計算は急いでやってますのでケアレスミスがあるかも知れません。

お礼

偏微分は習ったのですが、忘れていました。
おかげで少し思い出せました。
分かりやすい説明ありがとうございました！

回答No.1

noname#227064

偏微分は参考URLにもあるように、微分したい変数以外のものを定数とみなして微分するだけですが、ただの微分はできますよね？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86

お礼

そうですね、久しぶりに勉強するので忘れていましたが
他は定数とみなせばいいんですね！
あとは自分で勉強してみます！
ありがとうございました！