微分係数？？

質問

f(x)=x^2-4x+7のグラフ上の点（3,4）における接線の傾きf'(3)はf'(x)=2x-4なのでf'(3)=2・3-4=2よって傾きは2　というところを、f(3)=3^2-4・3＋7＝4　　f'(3)=0 というふうにすると全然違う答えになってしまいました・・たぶん微分の基本的なところが分かってないからこんな間違いをしてしまったと思うのですが何がどういうふうにいけないのかわかりません・・・回答お願いします！！

回答No.7

zabuzaburo · ベストアンサー

これはよく初学者が犯すあやまちで、
一度こういうことで悩んでおくのは非常に良い経験になります。
端的に書けば
f '(α) = [f(α)] ' とは限らない
ということです。本当の微分係数の定義は左辺なのに、
代わりに右辺の方を求めてしまったために生じた間違いです。
左辺は「f(x)を微分したものにαを代入する」(*)
右辺は「f(x)にαを代入したものを微分する」(#)
と、演算の順序が入れ替わっています。
(*)を専門用語で「微分係数を求める」と表現するわけです。
(#)のような計算は、
やってもあまり意味がないことが多い、というだけで、
計算そのものが不可能だとか間違っている、というわけではありません。

せっかくbell-bellさんが求めてくれた
f(3) = 3^2 - 4・3 + 7 = 4
を使って、ちょっと微分係数のからくりを勉強してみましょう。
上の計算から、グラフが点(3, 4)を通ることが分かりました。
さらに、すぐ近くのf(3.00001)を電卓で求めてみます。
f(3.00001) = 3.00001^2 - 4・3.00001 + 7 = 4.0000200001
すなわち、このグラフ上には、点(3, 4)のすぐ近くに
点(3.00001, 4.000020001)があることが分かります。
この2点を結んだ直線は、厳密には曲線と交わりますが、
見た目には接線とほとんど変わりません。
そこで、この直線の傾きを求めれば
「接線の傾きの近似値」が得られます。
実際に計算してみると、
(4.0000200001 - 4) ÷ (3.00001 - 3)
= 0.0000200001 ÷ 0.00001 = 2.00001
となります。
この計算を、今よりももっと2点を近づけて行えば、
どんどん精度の良い傾きが得られます。やってみると
2.000001, 2.0000001, 2.00000001, ……
という感じになりますが、これを見れば
接線の本当の傾きが2となることは
容易に想像がつくでしょう。

「微分係数を求める」という計算の仕組みは上で述べた通りで、
公式などはこれを一般化して得られた結果をまとめ上げたものです。

この計算を見ると、f(3) = 4と、その近傍の値との「違い」こそが
微分係数の計算に必要であることが分かりますから、
f(4)だけを使って形式的に微分しても
傾きを求めることは不可能ですね。
ちなみに「微分」は英語で differential calculus です。
「違い(difference)」とは切っても切れない関係にあるわけです。

回答No.6

eatern27

＃3さんの回答を見て、f'(3)=0の意味が分かりました。

あなたのように考えると任意の定数nに対してf'(n)=0となってしまいます。
何故なら、f(n)=(定数)ですからこれを微分すると0になるからです。

そもそも、f'(x)の定義は
f'(a)=lim(f(x)-f(a)/(x-a)
　　　 x→a
であり、
f'(a)=lim(f(a)-f(a))/(x-a)
　　　 x→a
ではありません。（f(x)にx=aを代入しました。）

回答No.5

Chararara

あ、補足です。
f'(3)が
f(x)をxで微分したものにx=3を代入したものを意味するのであれば、
f'(3)=2
になって、
f(x)にx=3を代入したもをxで微分したものをいみするのであれば、
f'(3)=0
になるわけです。
普通はf'(3)は前者の意味で使って、後者の意味では使わないのでは？？ 僕は前者の意味で書くときは
df|
--|
dx|x=3
↑としてるので、どう書くのが普通か忘れました。

回答No.4

fushigichan

こんばんは。
＞f(x)=x^2-4x+7のグラフ上の点（3,4）における接線の傾きf'(3)はf'(x)=2x-4なのでf'(3)=2・3-4=2よって傾きは2　というところを、f(3)=3^2-4・3＋7＝4　　f'(3)=0 というふうにすると

ということですが、まず
f(x)=x^2-4x+7
f'(x)=2x-4
ですね。
あなたがf(3)=3^2-4*3+7とやったのは、y=f(x)において、ｘ＝３のときのｙの値を求めたにすぎません。
つまり、ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝３という点のｙ座標を出しただけです。
これは定数です。
これを微分することは出来ません。

一方y=f(x)のｘ＝３における微分係数を求めようとすると、
y=f(x)をｘで微分したｙ＝ｆ’（ｘ）を用いなければなりません。
この、y=f'(x)において、ｘ＝３を代入したｆ’（３）こそが
y=f(x)のｘ＝３における接線の傾きを現すのです。

分かりますか？
ｙ＝ｆ（ｘ）を、ｘで微分した方程式ｙ＝ｆ’（ｘ）に
ｘを代入して求めなければならないのです。

がんばってください！！

回答No.3

Chararara

＃１さんのご意見はごもっともですが、一応、アドバイス。

f'(3)=0
これは何をやってるかというと、例えばg(x)という新しい関数を
g(x)=f(3)
つまり
g(x)=4
と定義して、それをxで微分していることと同じです（別にf(x)=4という関数でもいいけど紛らわしいのでg(x)にしました）。
xを変化させても、g(x)は常に4であり、g(x)は変化しません。だから、
g'(x)=0
になります。g(x)はf(3)のことだったから、
f'(3)=0
となるわけです。記号の意味が何だったかを思い出しながら計算すると理解できると思います。

回答No.2

eatern27

＞f'(3)=0というふうにすると・・・
f'(3)=0は何処から出てきたのですか？
f'(3)は定数です。だから、2以外にはならないです。
「f'(3)=0というふうにする」というのは「2=0というふうにする」と言っている事と変わりありません。全然違う答えになるのは当然です。

＞全然違う答えになってしまいました。
答えとは何の答えでしょう？接線の傾き(or式)を求めよという問題でしょうか？
そうであるならば、f'(3)を求めよといっているようなものです。

回答No.1

echoes

もちろん、答えが違うからにはその解答ではいけないわけで、いけない理由があるハズなのです。ここでどなたか数学の専門家の方が、「それはf(x)という記号が理解できていないから。正しくは～～～」と述べてくださっても、余計に混乱するのがオチだと思います。
　ですからこんなときは、習うより慣れで、こういうもんなんだと一度妥協しておくことを勧めます。
　やや話がそれますが、以前とある新聞の読者投稿の欄に高校の先生が「小学校で分数の割り算を教えるなど無意味だ。ひっくり返すことを暗記させているだけで何の意味も為さない」と投稿したところ、翌週に数学の専門家の方がこれを激烈に批判しておられました。
　“何故？”を追求しよう！というのも勿論分かるのですが、疑問を残したまま通り過ぎることがあっても良いと思います。またもう少し数学を勉強してこの問題にもう一度出会ったとき、正しい答えが導けるかも知れません。ここは一旦気にせず前に進みましょう。

　長い上に解答になってないですね＾＾；