微分についての質問です

質問

x^2+y^2=1について(d^2)y/dx^2をもとめよ　　なんですが
解答は
2x+2ydy/dx=0
dｙ/dx=-x/y さらに両辺をｘについて微分すると

(d^2)y/dx^2=(ｘｙ'-x'y)/y^2=-1/y^3

だったんですが
私はdｙ/dx=-x/y さらに両辺をｘについて微分すると

（d/dx）・（dｙ/dx）＝（d/dx）-x/y

で(d^2)y/dx^2＝-１/yだと思うんですが　

ｙについて微分しないと(ｘｙ'-x'y)/y^2にならないとおもうんですがどうしてこのようになるんでしょうか？

回答No.2

1ypsilon1 · ベストアンサー

x^2+y^2=1　は陰関数表示と呼ばれる形です。（ｘ と ｙ の関係式）

通常のｙ＝±√（１－ｘ＾２）　は陽関数表示と呼ばれます。（ｙ＝　の形）

陰関数を微分してあげると、
dｙ/dx=-x/y　となり微分してもｘ と ｙ の関係式になります。

陽関数の場合ｘだけの式になります。

ここで２階微分をするということですが…
（d/dx）・（dｙ/dx）＝（d/dx）（-x/y）　の式は正しいです。

ｘで微分するという考え方もばっちりです。
ただし、気を付けなければならないのが、ｙ は ｘ との関係式が成り立っているということです！！
だから ｘ で微分するということは、同時に ｙ で微分するということになります。

微分した形が２変数の場合は気を付けてください。

お分かりですかね？？

回答No.4

alice_44

一回目の微分を 2x+0=0 とはしなかった理由を思い出してみれば、
y を定数として扱ってはいけないのだと解るはずなんですが…

x2乗+y2乗=1 という等式によって、x と y には関数関係があるから、
2x+2y(y')=0 となるのです。この式を再度微分すれば、
2+2(y')2乗+2y(y'')=0 です。積の微分公式を知らなければ、復習のこと。
ふたつの式から、y' を代入消去すると、目的の式が得られます。

公式を暗記するよりも、式を微分することの意義を確認してくださいよ。

回答No.3

info22_

x^2+y^2=1 …(1)
xで微分
2x+2yy'=0

y'を求めると
y'=dy/dx=-x/y…(2)

xで微分
y''=d^2(y)/dx^2=-1/y + xy'/y^2　　(←(2)を代入)
=-1/y - x^2/y^3　
=-(y^2+x^2)/y^3　　　　　　　　(←(1)を代入)
=-1/y^3

となります。

> で(d^2)y/dx^2＝-１/yだと思うんですが　
とはなりません。

上の計算過程を繰り返し熟読して理解するようにして下さい。

回答No.1

spring135

＞dｙ/dx=-x/y さらに両辺をｘについて微分すると

(d^2)y/dx^2=(ｘｙ'-x'y)/y^2=-1/y^3

x'=dx/dx=1

よって

(d^2)y/dx^2=(ｘｙ'-y)/y^2

です。これが-1/y^3になるというのはそういう条件が別途課せられているときの話です。一般論として間違いです。

＞私はdｙ/dx=-x/y さらに両辺をｘについて微分すると

（d/dx）・（dｙ/dx）＝（d/dx）-x/y

間違いです。

（d/dx）・（dｙ/dx）=(ｘｙ'-y)/y^2

商の微分を勉強しなおしてください。

お礼

回答ありがとうございます