二等辺三角形の底角が等しい証明について

質問

よろしくお願いします。２４歳中学数学の教員をしています。

AB＝ACである二等辺三角形において
∠B＝∠Cであることを証明しなさいという授業をするのですが

中学１年で習った、線対称であることを利用すると
「対称軸で２つに折ったら重なるから、∠B＝∠Cである」を
使用してはいけない理由がどうしても分かりません。
中学１年で習った事柄は使わないことが前提なのでしょうか。
そうだとしたら、子どもにはどう説明したらいいのでしょうか。

もし、仮に対称軸を使わなかったとして
∠Aの二等分線を引く、BCの中点と頂点Aを結ぶ、頂点Aから垂線を引く
等とした回答がありますが、「BCの垂直二等分線を引く」ではなぜダメなのでしょうか。
もし「二等辺三角形」とわかっていなければ、
頂点Aと交わらない可能性もあるかもしれませんが
「二等辺三角形」の定義を利用する…となれば、頂点Aは必ず通りますよね。

子どもに教えるときに、自分自身があやふやなままで、困っています。
どうか助けて下さい、よろしくお願いします。

回答No.6

ojisan7 · ベストアンサー

中学校の図形の論証は２年生から始まります。中学校１年生の図形で学習した内容は、「慣れ親しむための」図形の直感的な性質にすぎません。したがって、１年生で習得した図形の性質は論証で使うことはできません。中学校では、「三角形の合同条件（正確には合同定理ですが）」を公理として採用しています。本来ならば、三角形の合同条件も証明を要するところですが、中学生には難しいため、「三角形の決定条件」から導入することになっています。

>「対称軸で２つに折ったら重なるから、∠B＝∠Cである」
これは使用できません。２つに折ったら、どうして、∠B＝∠Cとなるのかの説明がありませんね。

>「BCの垂直二等分線を引く」
これも使えませんね。「BCの垂直二等分線が、頂点Aを必ず通る」ということが、保証されていません。

「論証」は、「図」なしで、「論理（論述）」だけで構成するのが本筋です。「図」は単に論述の補助的な手段（論述では冗長になるのを避けるため）として用いるにすぎないのです。幾何学に本来、図は必要ないのです。現に、ポントリャーギンの名を挙げるまでもなく、生まれながら、目が不自由であるにもかかわらず、世界的に有名な幾何学者が何人もいることが、その証です。

お礼

回答ありがとうございます。
納得しました。
どうもありがとうございました！！

回答No.8

theisman

数学ですから、論理を厳密に積み重ねることが大切なんですよね。

「二等辺三角形が線対称である」という性質は既に授業の中で証明されていますか？むしろ、この問題の証明ができ、それを前提として「二等辺三角形が線対称である」という定理が導き出されていく流れのような気がします。
証明されていないことを前提として使ったら、数学ではなくなります。
「感覚的」な理解は、「こうなりそうだ」という予想を立てるのには役に立ちますし、実際重要なこと（「数学的直感」という言い方もされます）ですが、証明の中に「感覚的」な部分を含むことは、証明を「あやふや」なもの、つまり数学的には無意味なものにしてしまいます。

また、「BCの垂直二等分線を引く」方法は、まず「BCの垂直二等分線がAと交わる」ことを証明しなければなりません。「二等辺三角形」の定義は、あくまで「二辺が等しい三角形」というだけであり、勝手にその性質を推測したり、決め付けてしまうことはできません。

中学の数学ですと、まだ数学の練習みたいなものですから、題意からなるべくシンプルに、そして、論理的に厳密に組み立てていくことを重視する方が良いと思いますが。

お礼

どうもありがとうございました！
これを子ども達に伝える為に頑張ります！

回答No.7

ttttaaanni

>中１では、二等辺三角形は線対称で
>底角は等しい、底辺を垂直に二等分すると話しているもので…

＃2で回答した者です。
中１では、図形の性質を説明しましたが、
今度は、本格的な数学的手順を踏んでいく方法で説明します。これを、証明と言います。

図形問題で、直感的にＡを通るは許されます。　
が、証明問題で、そんな荒っぽい方法では、点数がもらえません。

こんな説明でどうでしょうか？

お礼

どうもありがとうございます。
子ども達も、これで証明してみようって気持ちになると思います。

No1からNo７まで回答してくださった皆様
本当にありがとうございました！！

回答No.5

ccyuki

「二等辺三角形」の定義を利用する　と書いてありますが　二等辺三角形の性質の間違いではありませんか？？

二等辺三角形の定義は　AB=AC　だけですよ。他のことは利用できません。線対称であることはまだわかっていませんし、垂直二等分線が頂点を通ることもわかっていません。

補足

回答ありがとうございます。
そうですよね、「二等辺三角形」の定義を利用するではないですよね。
中１で習った二等辺三角形の特徴から考えると…でした。

その「他の事は利用できません。」
というところが子どもに納得させられるかで悩んでいました。
中１の内容は、考えないんだよって言うべきなのかどうなのか…
なので、悩んでいました。

回答No.4

lick6

二等辺三角形をひっくり返してくっつけると平行四辺形、もっと言えばひし形ができます。
ひし形の対角線が垂直に交わるというのがOKなのであればそこから合同に持っていって角が等しいとやるのはどうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
授業のなかで、四角形を使った発想で解こうとしている生徒が
いたときに、この話をしてみたいと思います。

回答No.3

T N（@hokkai1234）

＞自分自身があやふやな・・・

問題があやふやに感じます。
中１で習った対称軸で重なる、を使用してはいけないのですか？
「二等辺三角形」の定義を利用する・・・とは問題のどこにも
かかれていませんが、条件は何ですか？
AB＝ACである二等辺三角形において
∠B＝∠Cであることを証明しなさい。なら対称軸を使っても、
垂直二等分線をつかってもOKですよね。なにがよくて、何がだめなのか条件がはっきりしません。

補足

回答ありがとうございます。
すいません、説明が足りませんでした。

この授業は中２数学　第５章の「三角形と四角形」の分野の最初のところです。
教科書通りに行えば、まず二等辺三角形の定義を行い
その次に、底角は等しいか、∠Aの二等分線を引いて調べてみよう
という話になっています。
教科書通りに行えば、線対称・対称軸・垂直二等分線の事は全く出てきません。
その後の問いでも、BCの中点と頂点Aを結んだときに、二等辺三角形になるかどうかを確かめるにとどまっています。

なのでもし、子どもから「線対称とかで説明できないんですか？」
と聞かれたときに、どう説明すればいいのか…と悩んでしまいまして。
それで、中１の話は利用していいものなのかどうかと思いまして
相談しました。

回答No.2

ttttaaanni

頂点Aと交わると　言い切れないからだと思います。

補足

回答ありがとうございます。
言い切れないということは、自分でも何となくはわかります。
でも、子どもに伝えるには…と思いまして

中１では、二等辺三角形は線対称で
底角は等しい、底辺を垂直に二等分すると話しているもので…

回答No.1

kishiura

ＢＣの垂直二等分線がＡを通るとは、まだ分からないからです。
感覚的には通りそうですが、数学ですから厳密にすべきです。
ＡからＢＣに垂線を下ろし、直角三角形の合同条件「斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」ので２つの三角形は合同で、∠Ｂと∠Ｃは等しいといえるのです。

補足

回答ありがとうございます。
他の先生方に相談したときに、このような説明を受けました。
中１でやったことは、確かに感覚的には子どもには伝わっているん
ですよね。

となると、子どもに説明するときは
「線対称である」ということは考えないんだよと話せばよいのでしょうか。
感覚的なもので判断したものを、文章で説明しようねというべきなんでしょうか。