二等辺三角形の両底角が等しい証明について

質問

ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣにおいて、
∠Ｂ＝∠Ｃを証明するのに、普通は（？）
∠Ａの二等分線とＢＣとの交点をＤとして、
△ＡＢＤ≡△ＡＣＤを示して証明するようですが、

補助線を引かずに直接、△ＡＢＣと△ＡＣＢという「２つ」の三角形を考え、
「二辺夾角相等」より△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ
を示して、
∠Ｂ＝∠Ｃ
である、という証明ではいけないのでしたっけ？

確か、いけないと聞いた気がしますが、理由を忘れてしまいました！
また、ユークリッドの『原論』での証明も補助線を使った証明だったような気がしますし、『原論』を学ぶ者はまずこの証明のところで挫折する、というような事を読んだ気がしますが・・・
（嘘だったら、スミマセン。）

どうぞよろしくお願いします！

回答No.9

noname#24477 · ベストアンサー

まず御質問の証明ですが、間違っていないように思えます。
ユークリッドが採用していないのは他に訳があるのでしょうか？
（＃４の方が述べているような）

ただ中学生あたりに説明するとき分かってもらえないような
気がします。
２つに割ったほうが理解してもらえそうです。

それから証明の順番ですが
原論では底角の定理は、5番目
角度を２等分できることは９番目だそうです。そのため頂角を２等分して・・・
というのを使うのは間違いになるそうです。
２辺狭角が等しいとき合同、が定理４だから使ってよい。
（３辺が等しいとき合同というのはもっと後ではないでしょうか。（よく知りません））

しかし直感的には角度が２等分できることは明らか
なので現代ではこちらを優先しているのでしょう。

お礼

原典にあたった上でのご回答を，ありがとうございました．

「御質問の証明ですが，間違っていないように思えます．」
とのことで，安心しました．ありがとうございます．
でも，これについてはご意見が極端に分かれていて，困りました・・・

また，『原論』を調べていただき、
「二辺夾角相等の三角形は互いに合同となる．」
「二等辺三角形の両底角は等しい．」
「角は二等分できる」
の順に証明しているとのことで，勉強になりました．ありがとうございました．

「二等辺三角形の両底角は等しい．」の証明については，
「頂点から底辺に垂線を下ろし（下ろせるとして！！），出来た２つの直角三角形について，直角三角形の合同条件から合同を示し，それから両底角の相等を言う」という証明も考えられますが，「直角三角形の合同条件」を使うことについては，また循環論法的な誤謬になるやも知れませんから，元の証明と５０歩１００歩でしょうかね？

いずれにしろ，色々と調べていただき，ありがとうございました．

回答No.13

graphaffine

まだ続いているようなので、蛇足かもしれませんが
一言。

「同じ図形だから証明の意味がない」と言う回答に関して

同じ図形を持ち出しているのは確かですが、そのことは
証明のどこに影響しますか。影響しませんよね。

従って、同じ図形かどうかは議論には関わってこないでしょう。
それに、鏡像云々も本質的ではありませんので、
流れは「2つの図形→合同→底角が等しい」
で良いと思います。

ここまでの議論で贋の背理法を思い浮かべました。
背理法でＡが成り立つことを示すには

Ａが成り立たないとする・・・・矛盾が生じた。
従って、Ａが成り立つ。

と言うような流れになりますが、きちんとした背理法では・・・の部分に、Ａが成り立たないと言う仮定から得られた何かを使用します。
その何かが無ければ、背理法にする必要は無いでしょ
と言う話になります。

要するに議論に関係しない前提は考える必要も意味も無いと言うことですね。

お礼

再度のご回答をありがとうございました。

そろそろ終わりにした方がいいでしょうかね。
一応、「補助線を引かない証明」は、「二辺夾角相等の合同条件」だけで証明できる、
といったご意見が大勢のようですが、大勢を占めれば正しい、とも限りませんしね・・・

「議論に関係しない前提は考える必要も意味も無い。」
そのとおりですよね。今回の場合は、特に「合同であるということ」のみから「証明されている」ように思えるので、
捉えにくいのかもしれません。

ありがとうございました。

回答No.12

kazaguruma87

No.11です。ご返答の方法なら大丈夫だと思います。最初の証明は、証明のほうは筋が通っていたのですが、なんだか出だしがすっきりしない感じがしました。今回のは

　2つの図形→合同→鏡像も合同→低角が等しい

という流れですよね。これなら納得です。

お恥ずかしながら「ユークリッドの『原論』」というものを今回はじめて知ったのですが、仮に今回の証明が間違っているとすると、前提が間違っているとしか考えられません。私は今回の方法で問題ないと思うのですが…。命題は簡単そうなのに奥が深いですね。

お礼

再度のご回答をありがとうございました。
そして、こちらの証明の趣旨をご理解いただき、嬉しく思います。

「２つの図形→合同→鏡像も合同→底角が等しい」
これは、分かりやすいですね！
そして、確かに「命題」というのは奥が深い訳です。

本来は、ユークリッドの『原論』の論理展開に従って、
どんな「基本定理」や「公理・公準」から、この「二等辺三角形の両底角の定理」を証明しているか、
を知りたいのです。
Ｎｏ．５さんが既に指摘しているとおりです。

Ｎｏ．１２さんが言及している、Ｎｏ．１１の欄での「回答へのお礼」の中で述べている「証明」においても、
「二辺夾角相等の三角形は、（それらが互いに鏡像の関係にあっても）互いに合同である。」
という「基本定理」を使っています。

問題は、
この「二辺夾角相等の基本定理」がどんな「基本定理」などから導かれているか、
です。
もし、それらの中に今問題にしている「二等辺三角形の両底角の定理」または
その「二等辺三角形の両底角の定理」から導かれた「基本定理」が含まれていれば、
上記の「証明」は循環論法的となり、まずい訳です。
これも、Ｎｏ．５さんが既に述べているとおりです。

Ｎｏ．９さんが少し言及してくれていますが、ユークリッドの『原論』での論理構成がもう少し判ればねぇ！・・・
誰か、お詳しい方！　教えて！！　ごお～っ！？

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.11

kazaguruma87

証明自体には問題はないと思います。問題があるとすれば前提ではないでしょうか？
No.1、No.2さんのおっしゃるとおり同じ図形自体を比べるということはすでに合同であるということが前提となっていて、論理学的に考えると、

　２つの図形は合同→…→2つの図形は合同である

という循環に陥っていると思います。したがって、最初の合同の証明は意味がありません。つまり同じ本を普通に読んで、つぎに逆から読んで、「最初に読んだ本と今読んだ本は同じ本だ」というのと同じですね。前提がおかしければ当然証明もおかしくなります。

そこでNo.4さんのように二等辺三角形を2つ用意してみますが、これでもできません。これも“同じ図形＝合同な図形”を用意するので先ほどと同じです。

だから、証明はあっているように見えますが、合同であることを前提として証明しているので、間違いになるのではないでしょうか…

お礼

ご回答を大変ありがとうございました．

やはり，元々合同の図形を用意しているから，合同は当たり前で証明になっていない，
ということでしょうか？
私はどうも頭が固くて頑固なので，Ｎｏ．５，６，８，１０さんからも繰り返しそのように言われましたが，
どうも納得できないでおります．

（再三の繰り返しで恐縮ですが，）
証明しようとしているのは，
△ＡＢＣ ≡ △ＡＣＢ
であって，
△ＡＢＣ ≡ △ＡＢＣ
ではないのですが・・・（この２つは意味が違うと思うのです．）

このことを別な表現で表してみると・・・
２つの三角形　ＡＢＣ　と　ＸＹＺ　があって，
ＡＢ＝ＸＹ，ＡＣ＝ＸＺ，∠Ａ＝∠Ｘ
となっているとします．（こう仮定するのは問題ないですよね！？）

すると，△ＡＢＣ ≡ △ＸＹＺ　となっていますから，
∠Ｂ＝∠Ｙ，∠Ｃ＝∠Ｚ　等は言えますが，
∠Ｂ＝∠Ｚ，∠Ｃ＝∠Ｙ，ＡＢ＝ＸＺ，ＡＣ＝ＸＹ　等はもちろん言えていません．

ここで更に，ＡＢ＝ＡＣ　が成り立つ場合は，
ＡＢ＝ＡＣ＝ＸＺ　より，ＡＢ＝ＸＺ
ＡＣ＝ＡＢ＝ＸＹ　より，ＡＣ＝ＸＹ
また，（初めから）∠Ａ＝∠Ｘ
なので，二辺夾角相等となり，
△ＡＢＣ ≡ △ＸＺＹ　　（←　△ＸＹＺ　ではなく　△ＸＺＹ　です．）
が（初めて）言えます．

すると，対応する角として，
∠Ｂ＝∠Ｚ，∠Ｃ＝∠Ｙ
等が（初めて）言えます．

ところが初めから，
∠Ｂ＝∠Ｙ，∠Ｃ＝∠Ｚ
等は言えていますから，結局，
∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｙ＝∠Ｚ
が言えます！？　ということだと思うのですが，どうなのでしょうか？

「“２つ”の三角形が合同であること」は使っていますが、それだけではもちろん「両底角が等しいこと」は証明でき（てい）ません．（それはそうですよね！　できる訳がありません！）
ＡＢ＝ＡＣ　という条件を使うことによって，初めて（やっと）証明している訳なのですが・・・

・・・何度繰り返しても，議論がすれ違いの感じもしますが・・・
どうぞご検討を！！

回答No.10

kabaokaba

No.5,6,8です
もうこれ以上この質問に対して
私がいえることはないですが・・・
間違っているとしかいえないです．

同じ三角形なんだから合同．
しかし，右と左の底角は「対応しない」です
4つの等しい辺は長さが等しいのだから
どういう風に組み合わせても長さは等しいですが，
点の対応については長さが等しいという条件は
何も教えてくれません
長さが等しいからって位置は確定しませんし
同じ長さの線分を作る異なる2点は無数にあります．
辺の長さが等しいという条件から
対応する点まで確定させているのが誤りです

この論法だと
「正n角形の内角はすべて等しい」
も同様に

360/n度ずつ回転させて，n個の正n角形を作って
それらは「対応する頂点を考えて」
合同なので（n個の辺の長さが等しい・・・(*)）
n個の対応する角が等しい
一方それらはもともと最初の正n角形の
内角なので，よって
正n角形の内角はすべて等しい

なんていう議論も成立しそうです
(*)の部分が怪しいですが
三角形の三つの合同条件を議論のスタートの一部として
n=3を考えることで正三角形の場合を認め
それをベースに一般の正n角形に拡張できるように
思います（未確認ですけど証明可能でしょう，多分）

それと

>△ＡＢＣ ≡ △ＡＢＣ
>は常に言えますが，
>△ＡＢＣ ≡ △ＡＣＢ
>は必ずしも言えません．

これには意味がないんですよ．
三角形ABCと三角形ACBは
同じ三角形なので合同なんですよ．
これは元の三角形と，それを「裏返した三角形」が
合同ではないといってるのと同じようなものです．
＃小学校の教科書なんかにありますよね
＃いっぱい三角形があって「同じものはどれでしょう」
＃なんて．で，一個くらい裏返してあるわけです

対応する点同士を並べるというのは
いわば表記上の問題だけで本質ではありません．
三角形が合同というのは
点の位置関係とかそういう情報はぜーんぶ無視して
三角形としてだけみるんです．
対応する頂点順にならべるというのは
便利だからそうしておこうよというだけなんです
対応する頂点に拘泥しすぎると
泥沼にはまります．

＃これ以上ないといいながら，いってる気もしますが
＃本質的に新しいことはいってないです(^^;;;

お礼

Ｎｏ．１０さん，すみません．
「回答に対するお礼」の欄に書くべきところを，字数の関係で「回答に対する補足」の欄に書かせていただきました．
悪しからず！

補足

繰り返しのご回答をいただき，大変ありがとうございました．
大概、繰り返しのご回答はいただけないことが多いようですので，詳しく丁寧な再度のご回答は大変有り難く，感謝しています．

・・・それにしてもやはり，文字面だけのやり取りでの議論だと，お互いになかなか上手く伝わらないところがありそうですね．

再度のご返事はいただけなくて構いませんが，
こちらからのコメントを，もう一度述べさせていただきます．

「図形の合同」と「対応する点や辺や角」が問題になっていますが，
(1) 「対応する」という意味が，２通りに使われている気がします．
例えば，「三角形を裏返したときに対応する点」という場合は，元の点に対して裏返しによって「移った点」を指しているようですが，「２つの三角形が合同の時に対応する点」という場合は，（裏返すかどうかには関係なく）合同によって「重ね合わせられる点」を指していると思います．

(2) 対象となっている２つの図形が「合同である」と言っても，「重ね合わせられる点や辺や角」は，一般には限られている訳です．多くの場合，その重ね合わせ方は１通りです．
そして一般的には，２つの辺の長さや角度が等しいことを証明するのに，それらを含む２つの三角形の合同を示してから，「対応する」２つの辺や角度が等しいとして，元の２つの辺の長さや角度が等しいことを証明する，という形式が多い訳です．

(3) 三角形の例で述べると，
△ＡＢＣ ≡ △ＸＹＺ
が言えれば，
ＡＢ＝ＸＹ，ＢＣ＝ＹＺ，ＣＡ＝ＺＸ，∠Ａ＝∠Ｘ，∠Ｂ＝∠Ｙ，∠Ｃ＝∠Ｚ
等は言えますが，
ＡＢ＝ＸＺ，∠Ｂ＝∠Ｚ，∠Ｃ＝∠Ｙ
等は（一般的にはもちろん）言えません！
つまり，「合同である」という場合は，その「対応する」（点の）順序が大切なのではないでしょうか．

(4) 正ｎ角形の場合は，元々の定義が「各辺と各内角が，それぞれ互いに等しい」ということだと思いますが，
（正ｎ角形とは限らない）一般のｎ角形Ｐ1Ｐ2Ｐ3・・・Ｐn　に対して，
ｎ角形Ｐ1Ｐ2Ｐ3・・・Ｐn ≡ ｎ角形Ｐ2Ｐ3・・・ＰnＰ1　（各点がこの順序で重ね合わせられるという意味）
がもし示せれば，確かに直ちに
（Ｐ1Ｐ2＝Ｐ2Ｐ3＝Ｐ3Ｐ4＝・・・Ｐn-1Ｐn＝ＰnＰ1
は，もちろん）
∠Ｐ1＝∠Ｐ2＝∠Ｐ3＝・・・＝∠Ｐn
も言えます．

(5) 同じ表現の繰り返しで恐縮ですが，より分かりやすく説明すると，
三角形において一般的には，
△ＡＢＣ ≡ △ＡＢＣ
は常に言えますが，
△ＡＢＣ ≡ △ＡＣＢ　（各点がこの順序で重ね合わせられるという意味）
は（もちろん）必ずしも言えません．
そしてここでもし，
ＡＢ＝ＡＣ　（△ＡＢＣでの辺ＡＢと，△ＡＣＢでの辺ＡＣが等しいという意味）
ならば，
ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＢ　（各式の左辺は△ＡＢＣでの辺や角を表し，右辺は△ＡＣＢでの辺や角を表しています．）
となり，「二辺夾角相等」が成り立つので，
△ＡＢＣ ≡ △ＡＣＢ
が言える，と思います．すると，（対応している角として）
∠Ｂ＝∠Ｃ
も言える！と思うのですが・・・

回答No.8

kabaokaba

No.5,6です

辺の長さが等しいからといって
その両端の点が対応するわけではないですよ
頂点の対応から辺の対応はいえますが，
辺が等しいからといって
その両端の点の対応はいえません

例えば，正方形ABCDを考えて
それを「裏返して」，正方形ABYXを作ります

D---A A---X
| | | |
C---B B---Y

正方形ABCDと正方形ABYXは対応する頂点を
考慮して名前をつけてます
正方形だからDC=BYですけど，
DとB，CとYは別に対応しようないですし
DCとBYだって対応してないです．

図を書いて対応するものに同じ印をつけて
じっくり眺めてみましょう．

お礼

再度のご回答をありがとうございました．

丁寧に説明していただき，お手数をおかけしましたが，どうも私は勘違いが得意なせいか，
まだよく分かっていないようです．スミマセン！

Ｎｏ．８さんの表記に再度従うと，
正方形ＡＢＣＤを考え，それを「裏返して」正方形ＡＢＹＸを作ります．

Ｄ---Ａ Ａ---Ｘ
| | | |
Ｃ---Ｂ Ｂ---Ｙ

正方形ＡＢＣＤと正方形ＡＢＹＸは，対応する頂点を考慮して名前をつけています．
正方形だから，ＤＣ＝ＢＹ　ですけれど，
ＤとＢ，ＣとＹは別に対応しようないですし，
ＤＣとＢＹだって対応していないです．（その通りです．）

しかし，ここでもし，
正方形ＡＢＣＤ ≡ 正方形ＸＹＢＡ　（点の表記順序は，お互いに対応する点の順に従っているとします．）
が言えたならば，例えば，
ＤＣとＡＢは「対応」し，ＣＢとＢＹも「対応」するでしょう．
すると例えば，
ＤＣ＝ＡＢ，ＣＢ＝ＢＹ，∠Ｄ＝∠Ａ，∠Ｃ＝∠Ｂ
等々が言える，と思うのですが・・・

繰り返し述べますが，三角形で言うと
一般的には，
△ＡＢＣ ≡ △ＡＢＣ
は常に言えますが，
△ＡＢＣ ≡ △ＡＣＢ
は必ずしも言えません．
ここでもし，ＡＢ＝ＡＣならば
△ＡＢＣ ≡ △ＡＣＢ
が言えるので，（対応している角として）
∠Ｂ＝∠Ｃ
も言える！という訳なのですが・・・

やっぱりおかしいでしょうかね？？？

回答No.7

zou1

私の座右の書、といってもまだすべて読んではいませんが、「コクセター　幾何学入門」の1.3ロバの橋　どうやら
二等辺三角形の両底角は等しいという定理はロバの橋というあだ名が付いているそうです。線を引かない証明は３４０年頃パッポスによって与えられたとあります。
著作上の引用はしませんが、１ページわたって書いてありおもしろいです。

お礼

ご回答をありがとうございました。
やはり「ロバの橋」でしたか。そんなあだ名がついているほど、この定理は「簡単に証明できそうでいて、何を使って証明するかの方が問題の定理」なのですね。
３４０年頃の「補助線を引かないパッポスによる証明」は、どんなものなのでしょうね？　今度「コセクターの幾何学入門」を見てみたいと思います。
ありがとうございます。

回答No.6

kabaokaba

No.5です

共立の原論に一緒に入ってるのは
ヒルベルトの「幾何学の基礎」だったかも(^^;;
ただ，クラインの「エルランゲンプログラム」も
共立から訳書がでてます．
日本語でなら容易に読める原論にくらべれば
「幾何学の基礎」も「エルランゲンプログラム」も
厄介というか日本語であっても
厳密さ緻密さパワーアップです．

お礼

補足をありがとうございました。
ユークリッドの「原論」も昔少し読んでみましたし、ヒルベルトの「幾何学の基礎」も触りを見た気がしますが、「無定義用語」から始まって、「公理」とか「公準」のみから「定理」を証明し、新しい「定義」と共に、更なる新しい「定理」を築いていく・・・
まさに数学という学問の真骨頂ですよね。

回答No.5

kabaokaba

＃なんかめちゃくちゃな議論に・・・

幾何の証明は何をスタートラインにおくかで
まるで話が変わってきます．
そこが重要なんです．

そもそも，ユークリッドの原論に厳密に従えば
「合同条件」という「定理」は
「二等辺三角形の底角は等しい」という定理を
用いて証明されるんです．
したがって，
合同条件を用いて三角形の合同を示すことで
二等辺三角形の底角が等しいことを示すのは
循環論法なんです．

つまり厳密には教科書にあるのは
幾何学原論的には間違えなんです．
しかしそれでは
証明などの論理的な考え方を学ぶのには
あまりに非教育的なので，

・平行線では同位角・錯角が等しい
・三角形の合同条件

というようなわかりやすいもの
をベースに再構築されているのが，
教科書にあるものです．

＃平行線の同位角・錯角が等しいことなんかは
＃ユークリッドの「第五公準」というもので
＃これが成り立たない幾何だって存在します．
＃地球儀みれば「平行線」が
＃北極と南極で交わってますし
＃三角形の内角の和だって180度じゃないです

「ロバの橋」というのはユークリッドの原論の
最初の方に出てくる
「二等辺三角形の底角は等しい」
という命題およびその証明方法についた
あだ名です．原論にある図が「橋」のように見えて
「ロバ」（ヨーロッパ方面では愚か者の象徴として
扱われることが多いようです）には
渡れないということのようです．
確かに，厄介な論法だったはずです
この論法を見たい場合は，
図書館でユークリッドの幾何学原論を見てください
共立出版から和訳が出てますので日本語で読めます．

＃「ロバでも分かることをわざわざやってる」
＃という批難がユークリッドの研究に向けられた
＃っていう話もありますね

さて，もともとの質問の証明はまちがってます．
二等辺三角形ABCを裏返して
二等辺三角形AXYをつくったとします．
＃Aが頂角，AB=ACとして，XがC，YがBに対応
このとき，三角形ABCとAXYが合同であるのは
いいんです．
けどですね，対応する角がちがうのですよ
ABCとAXYは，XがC，YがBに対応してるんです
ABCとAXYはその最初の表記からして
「対応する順」になってないので
「対応する角が等しい」なんてことはいえません．
つまり，角Bと角Xは等しいわけではありません．
表記に惑わされて対応するものを間違ってるのです．

それとNo.4さん
＞ある図形を裏返した図形は元の図形と合同である』
＞という公理を使う必要があります

公理ですか，これ？
もっとも，厳密にやるなら，
図形の変換を考えないとでてきません．
「裏返す」という変換そのものを定義して
それが定義として妥当なものか検証して
さらにその性質として合同だとかが出てくるのです．
変換ってのは幾何を考える上で極めて
重要な概念で，
「幾何とは変換によって不変な対象を調べるもの」
なんていう考え方があって
（クラインの「エルランゲンプログラム」）
現代数学では，これは重要な指針の一つで
変換で不変な「対象」を考えるのも研究の柱です．

＃前述の共立出版の原論には
＃クラインのエルランゲンプログラムも一緒に
＃入ってますが，かなり難解です．

お礼

詳しいご回答をありがとうございました．

確かに，「幾何の証明は何をスタートラインにおくかでまるで話が変わってきます．」よね．
私は専門家ではないので，その辺はあやふやでスミマセンでした．

でも私も，「ユークリッドの原論に厳密に従えば「合同条件」という「定理」は「二等辺三角形の底角は等しい」という定理を用いて証明される」というような循環論法になっているからダメなのかなあ，とも思い，「合同条件」の証明も一応調べたのですが，この定理は使っていないようだったので・・・
まさか，「厳密には教科書にあるのは幾何学原論的には間違えなんです．」とは思いませんでした！

「ロバの橋」の話は何となく思い出しました．ありがとうございました．
さしずめ，私もロバということですね！！　トホホ・・・

なお，「もともとの質問の証明はまちがってます．」という点ですが，
私としては点や辺、角度の対応は間違っていないと思いますが・・・

つまり，繰り返しで恐縮ですが，（Ｎｏ．５さんの表記に従うと）
二等辺三角形ＡＢＣを裏返して，二等辺三角形ＡＸＹを作ったとします．
∠Ａが頂角，ＡＢ＝ＡＣとして，ＸがＣ，ＹがＢに対応するとすると，

ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＸ＝ＡＹ　・・・(1)
∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＢ＝∠ＸＡＹ＝∠ＹＡＸ　・・・(2)
また，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＹＸ　・・・(3)
∠ＡＣＢ＝∠ＡＸＹ　・・・(4)
（これらは正しいですか？）
このとき，△ＡＢＣ≡△ＡＸＹ　（この順序で対応の合同）を示します．

つまり，△ＡＢＣと△ＡＸＹにおいて，(1)より，
ＡＢ＝ＡＸ　（対応する一辺が互いに等しい）
ＡＣ＝ＡＹ　（対応するもう一辺が互いに等しい）
また，(2)より，
∠ＢＡＣ＝∠ＸＡＹ　（上記二辺の夾角が互いに等しい）
だから，「二辺夾角相等」となり，
△ＡＢＣ≡△ＡＸＹ　（点の順序は，合同となる重ね合わせに対応している）
すると，対応する角で考えて，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＸＹ　・・・(5)
であるが，(4)より，
∠ＡＸＹ＝∠ＡＣＢ　・・・(6)
なので，(5)，(6)より，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
つまり，
∠Ｂ＝∠Ｃ
ということ・・・なのですが．
違ってますかねぇ・・・？

いずれにしろ，専門的で詳しい回答をありがとうございました．

回答No.4

tatsumi01

『△ＡＢＣと△ＡＣＢという「２つ」の三角形』ではなく、『△ＡＢＣを裏返した別の三角形△ＤＥＦ』を考えれば、△ＡＢＣと△ＤＥＦは合同になり、この合同関係で二つの底角は互いに別の底角に対応しているので等しくなります。
ただし、そのときに『ある図形を裏返した図形は元の図形と合同である』という公理を使う必要があります。この公理を認めたくない（証明すべき定理である）となると、上の証明法は使えませんね。

お礼

ご回答をありがとうございました．

もしかすると，Ｎｏ．４さんのおっしゃるとおり，
「『ある図形を裏返した図形は元の図形と合同である』という公理を使う必要がある」
ので，「ユークリッド原論」では「補助線を使った証明」を採用していたのかもしれませんね！

ただ，素朴な疑問として，「合同である」という事の定義は、「ずらしたり裏返したりしてぴったり重ね合わせられる」ということではなかったかと思うのですが・・・
つまり，「合同」に関しては「裏返し」もよい，のでは？　でも，よく分かりません．

また，「△ＡＢＣに対してそれを「裏返した」△ＡＣＢを考えると・・・」としたのは，そのほうが分かりやすいので便宜上そうしただけなので，（くどくなりますが，）
△ＡＢＣと（裏返さない）△ＡＣＢについて，（それらが同じ１つの三角形であろうが，違う２つの三角形であろうが）
ＡＢ＝ＡＣ　（二等辺三角形という仮定より）
ＡＣ＝ＡＢ　（二等辺三角形という仮定より）
∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＢ　（１つの角度∠Ａはどのように表現しようが，同じ値だと思われますが・・・　※）
だから，「二辺夾角相等」となり，
△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ　（点の順序は，合同となる重ね合わせに対応している）
すると，対応する角を考えて，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
つまり，∠Ｂ＝∠Ｃ
としてもよい気がするのですが・・・

それとも，※のところがおかしいのでしょうか？　（角が等しいというのは，ぴったり重ね合わせられるときを言うのだと思うのですが・・・）　そこに何らかの「公理」が必要だという事なのでしょうか？

いずれにしろ，鋭いご指摘をありがとうございました．

回答No.3

graphaffine

同じ三角形を考えることは問題ありません。
従って、証明は正しいように思えます。

＞確か、いけないと聞いた気がしますが、
誰に聞いたのかわかりませんが、その人も今までの回答と同じような思い込みをしていたのでは。

お礼

ご回答をありがとうございました．

「同じ三角形を考えることは問題ありません。」
と言っていただいて、少し安心いたしました。
（一般的な三角形については，△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ は成り立ちませんものね！）

他の方には誤解があるかもしれませんので，
この場をお借りして「補助線を使わない証明」を書かせていただくと・・・

△ＡＢＣと（それを裏返した）△ＡＣＢについて，
ＡＢ＝ＡＣ　（二等辺三角形という仮定より）
ＡＣ＝ＡＢ　（二等辺三角形という仮定より）
∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＢ　（共通な角）
だから，「二辺夾角相等」となり，
△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ　（点の順序は，合同となる重ね合わせに対応している）
すると，対応する角を考えて，
∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
つまり，∠Ｂ＝∠Ｃ　ということ．
なのですが・・・

Ｎｏ．３さんにはこの「証明」をご理解くださったようで，大変うれしいです！！

でも，でも，これでは確かいけないんですよ！！！　確か．
それで悩んでいるのです．
確か，「何とかロバの橋」とか何とかいう，『ユークリッド原論』にまつわる有名な（？）こぼれ話だった気がするのですが・・・　どうしても思い出せないのです～っ！

でも，もしかすると，Ｎｏ．３さんのおっしゃるとおり，私の単なる勘違いだっただけなのかも・・・スミマセン！

いずれにしろ，ご理解のあるご回答をいただき，ありがとうございました．