変分法 オイラー方程式導出で

質問

dI/dε=d/dε∫(a→b)f(x,y,y')dx
=∫(a→b)(∂f/∂y・∂y/∂ε + ∂f/∂y'・∂y'/∂ε)dx
となる様ですが、∂x/∂ε=0だからでしようか。

回答No.1

noname#26313 · ベストアンサー

そもそも変分は被積分函数の経路を求める一手法です。
今の場合、求めるのは、 {a,y(a)}、{b,y(b)} を両端とする、この間の経路を表わす函数 y(x) です。
これが定常時の経路から少しずれた時、積分値、
∫[a→b]f(x,y,y')dx がどれだけずれるかを計算し、それを極小値とする
y(x) を求めるのです。

つまり、δf(x,y,y')=f(x,y+δy,y'+δy')-f(x,y,y')
=(∂f(x,y,y')/∂y)・δy+(∂f(x,y,y')/∂y')・δy'
として、
∫[a→b]f(x,y,y')dx が極値を取る条件として、
∫(a→b)δf(x,y,y')dx=0 を満たす y を求めるのです。

従って、今の変分の計算では、x は変数になりえないのです。

ここで書かれている
dI/dε=(d/dε)・∫[a→b]f(x,y,y')dx
のεは、y を変化させるパラメーターで、これを求めることが、経路を定常にする y を求めることと
同じことになるのでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。

　＞従って、今の変分の計算では、x は変数になりえないのです。

　ということは、
　∂x/∂ε=0　になりますが、それで、この項がないのではなく、
もともと、xを増減させることを考えていないということでしょうか？

回答No.2

noname#26313

＞もともと、xを増減させることを考えていないということでしょうか？
そのとおりです。
考えている対象が、経路で、経路が少しずれた時、積分値がどう変わるかを調べているので、xが変数に入り込む余地がないのです。

お礼

度々の回答ありがとうございました。
おぼろげに見えてきたような気がします。
まだまだ、勉強いたします。