変分解析

質問

u=y(x)に関して、
I=∫F(x,u,u')dx
で表される凡関数が極大または極小となるためには、次式が成り立たなければならない。
d/dx(aF/au')-aF/au=0
a:パーシャル、
(Eulerの微分方程式)

(1)x,y平面上の2点:P1(x1,y1),P2(y1,y2)を結ぶ最短の曲線が直線になることを証明せよ．
(2)P1、P2を結ぶ曲線で、これをx軸のまわりに回転してできる曲面の表面積が最小になるような曲線を求めたい。この曲線を表す微分方程式が、
y/(√(1+y'^2))=一定
となることを示せ。

ほとんどわからないので、できるだけ詳細にお願いします。片方だけでもかまいませんので...。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

blue_monkey さんのご回答は変分法の標準的手続きに沿ったものですが，
(1)の問題の場合は式の形から答が簡単にわかります．

まず，題意からして座標軸の選び方には関係がないですから，
P1，P2 の代わりに
Q1(0,0)，Q2(X,0) としても一般性を失いません．
あるいは，適当に座標軸を回転と平行移動したと思ってもＯＫです．

Q1，Q2 間の曲線 y = f(x) の長さは guiter さんが書かれておられるように
Ｌ＝∫(0～X) √{1 + (df/dx)^2} dx
です．
被積分関数は常に正ですから，
もし積分範囲内で至る所 df/dx = 0 となるようにできれば，
Ｌが最小値を取ることは自明です．
Q1，Q2 を結ぶ直線は df/dx = 0 ですから，実際にそのように選ぶことは可能です．
したがって，２点を結ぶ曲線のうち長さが最小のものは直線です．

もとの P1,P2 のままやりますと，
常に df/dx = 0 とは選べないので
(y1≠y2 なら P1,P2 の両方を通るようにはならない)，
上のように簡単にはできません．

お礼

やったらできました。ありがとうございました。

回答No.3

noname#2380

blue_monkeyです。とりあえず(1)の問題について考えます。
（回答No1,No2を参照して下さい。）
固定点p1，p2を通る曲線の集合を考えます。この集合に属する曲線の弧長dsを用いてこの曲線の長さは

Q[y]=∫ds=∫(1+(dy/dx)^2)^(0.5)dx　　　　　　(1)

曲線の長さを最小にする曲線yから少しずれた曲線を考えます（距離はユークリッド計量で与えられているものとします。gij=δij。）。

y+δy

ここで、δyは点p1,p2で0。

δQ[y]=Q[y+δy]-Q[y]

=∫(1+[d/dx(y+δy)]^2)^0.5-(1+[d/dx(y)]^2)^0.5 dx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）

（２）式で偏分δyの一次項までを考えると、yが極値（停留値）をとるので、下記の積分値は0となります

=∫(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]*[d/dx(δy)]dx

　　 =(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]*(δy)

-∫(δy)*d/dx{(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}dx

ここで、偏分δyが点p1及びp2で0になるので第1項は0となります。

　　　=-∫(δy)*d/dx{(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}dx

　　偏分δyは任意の値をとりますので、上記の積分値が0となるためには、
　　被積分関数が0となる必要がります。

　　よって

　　d/dx{(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}=0　　　　　（３）

　　という微分方程式が得られます。
　　（３）式を積分すると

　　{(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}=ｋ　　　　　　　（４）

　　ここでkは定数。（４）式を(d/dx)yについて解くと

　　[(d/dx)y]^2=k*k/(1-k*k)

ここでk≠±1とすると、

　　(d/dx)y=±(k*k/(1-k*k))^0.5 （５）

（５）式を積分すると

y=±(k*k/(1-k*k))^0.5*x+c

　　（ここでcは積分定数。）

　　　と言う直線の式が得られます。

　　実際に求められた、直線の式が、停留値となっていますが、極小か極大か、
　　不明であり、これを確認するためには、停留値の周りでδyの2次の近似を
　　おこない、δｙについてのδQ[y]の変化の具合を調べる必要があります。
　　（この部分の計算は、手抜きさせていただきます。2点を固定した糸を
　　　ピ～ンと両端をひっぱりゃ、長さを最小にする曲線は直線になること
　　　がすぐに予想がつくのですがぁ～。計算を地道にやらないとだめなん
　　　ですよねぇ～。）

以上

誤記、誤計算、間違いがあったらゴメンナサイ。

回答No.2

siegmund

少なくとも(1)は変分法のテキストならまず，必ずと言っていいほど
載っている例題です．
まずは，変分法のテキストを読まれるようにおすすめします．
(2)もよく例題にある問題です．

単なるミスタイプかとも思いますが，
○ 凡関数 ⇒ 汎関数
○ 偏微分は JIS に記号∂がありますよ．
○ P2(y1,y2) ⇒ P2(x2,y2) ？

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

guiter

(1)のヒントです。

P1、P2が曲線 u=y(x) で結ばれているとします。
このとき、この曲線の x=x1 から x=x2 までの長さは
　Ｌ＝∫(x1～x2) √{1 + (dy/dx)^2} dx
　　＝∫(x1～x2) √{1 + (u')^2} dx
と表すことが出来ます。
このＬが極小となる条件を考えましょう。

(2)のほうもまずは曲面の表面積を式で表してみてください。