オイラーの微分方程式

質問

x^2y"+axy'+by=R(x) a,bは定数
t=log|x|という変数変化により
d^2y/dx^2 +(a-1)dy/dt +by=R(±e^t)の証明の方法を教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

証明って…代入するだけですよ。

dt/dx = 1/x より、
dy/dx = (dt/dx)(dy/dt) = (1/x)(dy/dt),

(d/dx)(dy/dx) = (d/dx)((1/x)(dy/dt))
= (-1/x2乗)(dy/dt) + (1/x)(d/dx)(dy/dt)
= (-1/x2乗)(dy/dt) + (1/x)(dt/dx)(d/dt)(dy/dt)
= (-1/x2乗)(dy/dt) + (1/x)(1/x)(d/dt)(dy/dt)
= (1/x2乗)(-(dy/dt) + (d/dt)(dy/dt)).

この二つを原式に代入して整理し、
残った x を x = ±(exp t) で消去。

結論の式の誤字は、訂正したほうがよいです。