導出法 等

質問

http://onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/p_line1/
　　 を　世界の　誰もが　●多様な発想で　導出　する。

　　 https://www.youtube.com/watch?v=TByHieZN4vw(<---■あなたは　此れ　派ですか?)

　　 https://www.khanacademy.org/math/geometry-home/analytic-geometry-topic/distance-between-a-point-and-a-line/v/distance-between-a-point-and-a-line<---■あなたは　此れ　派ですか?)

　　 https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_line

　　　　　　　　======= 此れを　用いて ======

Ｘ∈[-γ,γ]のとき　
(γ,0) と　x/-γ+y/α=1 の 距離dは___________

(0,X) と　x/-γ+y/α=1 の 距離d1は___________
(0,X) と　x/γ+y/α=1 の 距離d2は___________
d1+d2=d.

超平面達 x/-γ+y/α=1 ,x/γ+y/α=1　と　点 (0,X) を　図示願います。

回答No.1

jcpmutura

(γ,0)と-x/γ+y/α=1の距離をd
とすると
d=min_{-x/γ+y/α=1}√{(x-γ)^2+y^2}
d=min_{y=α(1+x/γ)}√{(x-γ)^2+y^2}
d=min_{x}√[(x-γ)^2+{α(1+x/γ)}^2]

(x-γ)^2+α^2(1+x/γ)^2
=x^2-2xγ+γ^2+α^2+2xα^2/γ+x^2α^2/γ^2
=(1+α^2/γ^2)x^2+2(α^2/γ-γ)x+γ^2+α^2
=(1+α^2/γ^2){x+γ(α^2-γ^2)/(γ^2+α^2)}^2+4α^2γ^2/(γ^2+α^2)
≧4α^2γ^2/(γ^2+α^2)

√{(x-γ)^2+α^2(1+x/γ)^2}≧2|αγ|/√(γ^2+α^2)
∴
d=2|αγ|/√(γ^2+α^2)

(0,X)と-x/γ+y/α=1の距離をd1
とすると
d1=min_{-x/γ+y/α=1}√{x^2+(y-X)^2}
d1=min_{γ(y/α-1)=x}√{x^2+(y-X)^2}
d1=min_{y}√[{γ(y/α-1)}^2+(y-X)^2]

{γ(y/α-1)}^2+(y-X)^2
=γ^2y^2/α^2-2yγ^2/α+γ^2+y^2-2yX+X^2
=(1+γ^2/α^2)y^2-2(X+γ^2/α)y+γ^2+X^2
=(1+γ^2/α^2){y-α(Xα+γ^2)/(α^2+γ^2)}^2+γ^2(X-α)^2/(α^2+γ^2)
≧γ^2(X-α)^2/(α^2+γ^2)

√{γ^2(y/α-1)^2+(y-X)^2}≧|γ(X-α)|/√(α^2+γ^2)
∴
d1=|γ(X-α)|/√(α^2+γ^2)

(0,X)とx/γ+y/α=1の距離をd2
とするとd1のγを-γに置き換えただけだからd1と同じだから
∴
d2=|γ(X-α)|/√(α^2+γ^2)

d1+d2=2|γ(X-α)|/√(α^2+γ^2)≠2|αγ|/√(γ^2+α^2)=d

d1+d2=dにはなりません

(X,0)と-x/γ+y/α=1の距離をd1
とすると
d1=min_{-x/γ+y/α=1}√{(x-X)^2+y^2}
d1=min_{y=α(1+x/γ)}√{(x-X)^2+y^2}
d=min_{x}√[(x-X)^2+{α(1+x/γ)}^2]

(x-X)^2+α^2(1+x/γ)^2
=x^2-2xX+X^2+α^2+2xα^2/γ+x^2α^2/γ^2
=(1+α^2/γ^2)x^2+2(α^2/γ-X)x+X^2+α^2
=(1+α^2/γ^2){x+γ(α^2-Xγ)/(γ^2+α^2)}^2+α^2(X+γ)^2/(γ^2+α^2)
≧α^2(X+γ)^2/(γ^2+α^2)

√{(x-X)^2+α^2(1+x/γ)^2}≧|α(X+γ)|/√(γ^2+α^2)
∴
d1=|α(X+γ)|/√(γ^2+α^2)

(X,0)とx/γ+y/α=1の距離をd2
とするとd1のγを-γに置き換えただけだから
∴
d2=|α(X-γ)|/√(α^2+γ^2)

d1+d2
=|α|(|X+γ|+|X-γ|)/√(γ^2+α^2)
↓-γ≦X≦γ>0だから
=2|αγ|/√(γ^2+α^2)
=d

d1+d2=dとなるためには
点(0,X)ではなく
点(X,0)でなければなりません