微分方程式の解き方

質問

すいません、以下の微分方程式の解法が分かる方教えて下さい。
宜しくお願いします。 専門外で困っています。

ｙはxの関数として、

y'' + A*y' = B*exp(-y)

A,Bは定数、y'' = d^2y/dx^2, y' = dy/dx

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

y'' + A・y' = B・exp(-y)
変形して
y"・e^y + A・y'・e^y = B・・・(1)

e^y = u・・・とおく
u' = y'・e^y
u" = y'・e^y + y"・e^y
y"・e^y = u"－u'
よって(1)は
u"－(1－A)u' = B・・・(2)
(2)の斉次方程式を解くと
u' = C・exp((1－A)x)
常数変化法の手続きによって(2)を解くと
u' = (B・exp((A－1)x)/(A－1) + C1)・exp((1－A)x)
= B/(A－1) + C1・exp((1－A)x)
∴u = Bx/(A－1) + C1・exp((1－A)x)/(1－A) + C2
従って
e^y = Bx/(A－1) + C1・exp((1－A)x)/(1－A) + C2
y = log(Bx/(A－1) + C1・exp((1－A)x)/(1－A) + C2)

お礼

ありがとうございました。助かります。
これはある物理現象の方程式なのですが、思ったとうり複雑な解になりました。

初期条件が x=0, y'=0なので、
C1 = -B/(A-1)
となりますが、C2は実験的に決めなくてはならないですね。