数と式

質問

x+y+z=42のとき３つの自然数x,y,zを３辺の長さとする三角形はいくつできるかという問題です。
このときの条件はx≦y≦z

ｘ+y+ｚ=42,x+y+z≦3zより
z≧14
また、z<x+y=42-zより
z<21
14≦z<21
(i)
z=14のとき
x+y=28,x+y≦2yより
ｙ≧14
このときｙとxをどのように求めるのかわかりません。
y=14のときx=14
y=15のときx=13
y=16のときx=13
こんな感じでもとめるのでしょうか？

回答No.4

take_5

＞の現れ方が分からないので教えてもらってもいいですか？

y＝42-x-zを、x≦y≦z‥‥(2)とy-x＜z＜y＋x　‥‥(3)に代入するだけです。

＞xz平面上に図示して　グラフをどのように読み取るのか分かりません。

xz平面上に図示すると　3点(0、42)、(0、21)、(14、14)で作る三角形の内部(z軸は除くが、他の2辺上は含む)になる。
そこの領域に含まれる格子点(x、zが共に整数になる点)を拾うだけです。
方眼紙でもあればいいのですが-とは言っても、試験場ではそんなものはないでしょうから-正確に図を書いて、拾い上げてください。

補足

早速の解説どうもありがとうございます
3点(0、42)、(0、21)、(14、14)はどのようして現れたのでしょうか？
z≦42-2x　‥‥(4)、2z≧42-x　‥‥(5)、21-x＜z＜21　‥‥(6).
から
例えば
z≦42-2x　‥‥(4)からx=0のときz≦42からz=42となって
(0,42)となるのですか？
何度も質問してすいません

回答No.3

take_5

＞このときの条件はx≦y≦z

整数問題を解く時は、たとえ「x≦y≦z」という条件がなくても、このように設定することが定石です。
又、x≦y≦zと設定することは、一般性を失うものではありません。

さて、この問題ですが

x+y+z=42　‥‥(1)、x≦y≦z‥‥(2)

＞３つの自然数x,y,zを３辺の長さとする三角形

ですから、(2)を考慮して、y-x＜z＜y＋x　‥‥(3)
(1)より、y＝42-x-z　であるが、これを(2)と(3)に代入する。
z≦42-2x　‥‥(4)、2z≧42-x　‥‥(5)、21-x＜z＜21　‥‥(6).
(4)～(6)を　xz平面上に図示して　グラフから読み取ると良いと思います。
質問者さんが書かれている“必要条件を出して、十分条件を確認する　しらみつぶし法”より、少しは簡単かと思いますが。。。。。。

でも、整数値の問題は、時として“根気”が必要になるときがあります。

補足

z≦42-2x　‥‥(4)、2z≧42-x　‥‥(5)、21-x＜z＜21　‥‥(6)
の現れ方が分からないので教えてもらってもいいですか？

xz平面上に図示して　グラフをどのように読み取るのか分かりません。
例えばでいいので教えてください

回答No.2

endlessriver

「条件はx≦y≦z」は対称性から妥当なものと思います。
(1)y=42-z-x
(1)とy≦zから42-2z≦x
(1)とx≦yからx≦21-[z/2+0.5]。[]はガウスの記号。
合わせて
(2)42-2z≦x≦21-[z/2+0.5]。

１．z=14のとき
(2)から14≦x≦14。(1)からy=14。
２．z=15のとき
(2)から12≦x≦13。
のようにしていけば良いと思います。

回答No.1

rabbit_cat

＞ このときの条件はx≦y≦z
これは、もともと問題にあった条件ですか？
それとも、三角形ができるために必要だとsuika_11さんが考えた条件ですか？
もし、後者だとすれば、条件が間違っています。
三角形ができるためには、三角不等式（２辺の和が１辺よりも長い）を満たさないといけません。
x+y>z かつ y+z>x かつ z+x>y
です。

補足

条件はx≦y≦zは私が考えたものではありません
参照に乗ってありました
条件はx≦y≦zで考えるということです