３けたの自然数を求める問題で、途中式が不明な点がありましたのでお聞きします。

質問

３けたの自然数がある。この自然数の数字を逆に並べた自然数は、もとの数より４９５大きい。また、この自然数の各位の数字の和は１７で、百の位の数字の２倍と十の位の数の３倍との和は、一の位の数の３倍に等しい。はじめの数を求めなさい。

元の数を１００Ｘ＋１０ｙ＋Ｚ　逆の自然数を１００Ｚ＋１０ｙ＋Ｘ
とおく。

１００Ｚ＋１０ｙ＋Ｘ＝１００Ｘ＋１０ｙ＋Ｚ＋４９５
（自然数の数字を逆に並べた自然数は、もとの数より４９５大きい）

－９９Ｘ＋９９Ｚ＝４９５（－９９で割り、数字を小さくしました）

Ｘ－Ｚ＝－５　(1)とする

Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１７　(2)とする

２Ｘ＋３Ｙ＝３Ｚ　(3)とする

(1)のＸ－Ｚ＝－５をＸ＝Ｚ－５に変形して(2)(3)に代入します。

(2)（Ｚ－５）＋Ｙ＋Ｚ＝１７
　　　　　　２Ｚ＋Ｙ＝２２ （Ａ）とおく

(3)２（ Ｚ－５）＋３Ｙ ＝３Ｚ
２Ｚ－１０＋３Ｙ－３Ｚ＝０
　　　－Ｚ＋３Ｙ－１０＝０　（Ｂ）とおく

※（Ｂ）の計算の答えですが正しくは、こちらが正解ではないでしょうか？また、なぜ上の(3)の右辺に０がくるのか判りません。
(3)２（ Ｚ－５）＋３Ｙ ＝３Ｚ
　　　２Ｚ＋３Ｙ－３Ｚ＝１０
　　　　　　－Ｚ＋３Ｙ＝１０（Ｂ）これが正解ではないでしょうか？

続きます・・・
（Ａ）（Ｂ）より
　　２Ｚ＋Ｙ＝２２　（Ａ）
　－Ｚ＋３Ｙ＝１０　（Ｂ）×２倍

　　　 ２Ｚ＋Ｙ＝２２　（Ａ）
＋）－２Ｚ＋６Ｙ＝２０　（Ｂ）
―――――――――――
　　　　　　７Ｙ＝４２
　　　　　　　Ｙ＝６　　　

Ｙ＝６を（Ａ）に代入
よって２Ｚ＋６＝２２
　　　　　２Ｚ＝１６
　　　　　　Ｚ＝８

Ｚ＝８を(2)（Ｚ－５）に代入します。

Ｘ＝８－５＝３

答え３６８

以上です。

分かりにくいところもあると思いますが、よろしくお願いいたします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞
正しくは、こちらが正解ではないでしょうか？
また、なぜ上の(3)の右辺に０がくるのか判りません。
－Ｚ＋３Ｙ＝１０（Ｂ）これが正解ではないでしょうか？

どちらも正解です。
模範解答（？）は、左辺の－１０を右辺に移項する手間を、後回しにしているだけです。

　　　 ２Ｚ＋Ｙ＝２２　（Ａ）
＋）－２Ｚ＋６Ｙ－２０＝０　（Ｂ）
―――――――――――
　　　　７Ｙ－２０＝２２
　　　　　　７Ｙ＝４２
　　　　　　　Ｙ＝６　　　

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

R_Earl

> なぜ上の(3)の右辺に０がくるのか判りません。

> (3)２（ Ｚ－５）＋３Ｙ ＝３Ｚ
> ２Ｚ－１０＋３Ｙ－３Ｚ＝０

「２（ Ｚ－５）＋３Ｙ ＝３Ｚ」の右辺の3Zを左辺に移項しています。
そうすると、右辺は『何もない状態』になります。
つまり、「２Ｚ－１０＋３Ｙ－３Ｚ＝『何もない状態』」となります。
この『何もない状態』を表すのが、0です。
だから最終的に「２Ｚ－１０＋３Ｙ－３Ｚ＝０」となります。

こう考えてもいいかもしれません。

2(Z - 5) + 3Y = 3Z
2Z - 10 + 3Y = 3Z
両辺から3Zを引いて
2Z - 10 + 3Y - 3Z = 3Z - 3Z
2Z - 10 + 3Y - 3Z = 0

実は、移項って『両辺から同じ数を足したり引く作業』と同じです。
「3Zを移項する」というのは、「両辺から3Zを引く」のと同じです。
引き算されるから、右辺は3Z - 3Z = 0になります。

また、
「－Ｚ＋３Ｙ－１０＝０」の左辺の-10を右辺に移項すると
「－Ｚ＋３Ｙ＝１０」となるので、両者は同じ等式です。
連立方程式を解く時は、「－Ｚ＋３Ｙ－１０＝０」を使っても、
「－Ｚ＋３Ｙ＝１０」を使っても同じ答えがでます(ANo.1の方が、それを示しています)。
両者の等式は同じ意味を持っているので、どちらを使っても同じ答えが得られます。