数と式

質問

(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1を満たす正の整数x、y、ｚの組(x、y、z)をすべて求める問題で
ただし
x≦y≦zとするとき
x≦y≦zより　(1/x)≧(1/y)≧(1/z)はわかるのですが

(1/x)＋(1/y)＋(1/z)≦(1/x)＋(1/x)＋(1/x)=(3/x)

からxは　x≦3で

x=3のとき
(1/y)＋(1/x)=(2/3)
分母をはらって
3x＋3y=2yzとなって
(2y-3)(2z-3)=9
3≦y≦zから

3≦2Y-3≦2Z-3
となることが分かりません
そのあと
(2Y-3、2Z-3)={3，3）
になるのですか？

回答No.2

chiropy · ベストアンサー

>>3x＋3y=2yzとなって
(2y-3)(2z-3)=9…＊

y,zは整数なので2y-3,2z-3も整数になります。つまり＊式は(整数)(整数)＝9となります。
これを満たす組み合わせは1*9,3*3,9*1の三通り考えられます。
(1)2y-3=1,2z-3=9の時
　y=2,z=6となります。これはy≦zは満たしていますがx=3なのでx≦yに反する。
(2)2y-3=3,2z-3=3の時
　y=3,z=3となり。y≦zを満たす。これはx≦yも満たすのでOK
(3)2y-3=9,2z-3=1
　y=6,z=2となります。これはy≦zを満たさないのでダメ。
よって、x=3の時、y=3,z=3のみが答えとなります。

整数問題は積の形に変形した時その組み合わせが限られてきます。一度といておけば二度目は大丈夫ですね。（今回のテスト範囲かな？）頑張ってくださいね。

回答No.1

quantum2000

３≦ｙ≦ｚ
より，各辺を２倍して，
　　６≦２ｙ≦２ｚ
だから，各辺から３を引いて，
　　３≦２ｙ－３≦２ｚ－３

ここで，もちろん　２ｙ－３，２ｚ－３　は整数で，
　　（２ｙ－３）（２ｚ－３）＝９
ですから，
　　２ｙ－３＝３，２ｚ－３＝３
と出てくるのでは？