数と式

質問

2ｘ^2+7xy+3y^2+9x+7y+4=55を満たす自然数x、yを求める。

(左辺)=(x+3y+4)(2x+y+1)=55　　　
　　　　　↓　　　　↓　　　　　
　　　(1+3・1+4)　(2・1+1+1)

よって　x+3y+4=11　　
　　　　 2x+y+1=5　　　　ゆえにｘ=1、y=2

解説には左辺より(8以上)×(4以上)だから11×5でOKとあったのですが、
何を意図してるのかさっぱりわかりません。
この(8以上)×(4以上)というのはどこからきたのですか？
また、(x+3y+4)(2x+y+1)=55からx、yの値を
求めるために方程式が導き出されるのも不思議です。

回答No.5

tyuuya

fushigichanさんの回答で十分だと思いますが、ちょっと気になることがあったので。

自然数が１以上とはどこにも書かれていないのが曲者と思いました。
大学の数学では０も入ることがあるので、０のときを考えれば、
x+3y+4は４以上、2x+y+1は１以上。
すると、
(55*1)、(11*5)、(5*11)の３通りの回答があるような・・・

回答No.4

fushigichan

pmcさん、こんにちは。

＞(左辺)=(x+3y+4)(2x+y+1)=55　　　
　　　　　↓　　　　↓　　　　　
　　　(1+3・1+4)　(2・1+1+1)

よって　x+3y+4=11　　
　　　　 2x+y+1=5　　　　ゆえにｘ=1、y=2

＞解説には左辺より(8以上)×(4以上)だから11×5でOKとあったのですが、
何を意図してるのかさっぱりわかりません。

x=1,y=1を代入しているのは、
xとyがともに一番最小の自然数であった場合、です。
一番小さいときで、x=y=1を代入してみると、

x+3y+4=8になります。
2x+y+1=4になります。

x,yは自然数、ということですから１以上の整数が入るわけで
(x+3y+4)と(2x+y+1)の値は、それぞれ
最小のときの８、４以上になることは分かると思います。

なので、（８以上）×（４以上）
となるのですね。

さて、ここで５５という数字は
１×５５
５×１１
１１×５
５５×１
の４とおりに分解できますね。

そのうち（８以上）×（４以上）となる組み合わせは

１１×５
のときしかありません。

なので
x+3y+4=11
2x+y+1=5
この２つの連立方程式を解いた答えが、求めたい答えになります。

＞また、(x+3y+4)(2x+y+1)=55からx、yの値を
求めるために方程式が導き出されるのも不思議です。

x、ｙがそれぞれ自然数（正の整数）という条件がありますから
(x+3y+4)も(2x+y+1)もまた、自然数になります。
しかも
(x+3y+4)は８以上の整数
(2x+y+1)は４以上の整数、ということが分かりましたから
あとは、５５を分解して（自然数）×（自然数）の形にすればいいのです。

ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

回答No.3

waseda2003

x，yが整数というだけであれば，

(x+3y+4)(2x+y+1)=55

から得られる値の組は

(x+3y+4，2x+y+1) = (1，55)，(5，11)，(11，5)，
(55，1)，(-1，-55)，(-5，-11)，(-11，-5)，(-55，-1)

の８組あります。（55の約数から８組に決まるということはいいですね？）

これらを全部調べて自然数となる(x，y)を選ぶというのも一つの手ですが，それではあまりに大変なので，xとyが自然数であることから場合を絞ろうとしているわけです。

x，yは自然数なので，特にx≧1，y≧1ですから，

x+3y+4 ≧ 1+3*1+4 = 8
2x+y+1 ≧ 2*1+1+1 = 4

と絞られ，上の８組の中で，これを満たすものは

x+3y+4 = 11，2x+y+1 = 5

だけです。

回答No.2

mirage70

自然数とは何かと云うことです。
自然数は、正の整数で１，２，３，４，…
よって、自然数の１番小さい数は１これを、
x , yに代入しますと、x+3y+4=8, 2x+y+1=4此が１番小さいものとなります。
従って、x+3y+4>=8, 2x+y+1>=4
そして、右辺の55を２個の整数の積としたものです。

回答No.1

shinobinomono

この問題は、ｘ、ｙが自然数であるという条件がポイントになっています。自然数は１以上の整数ですから、
ｘ＋３ｙ＋４の値は、ｘ＝１、ｙ＝１でも７になるので、７より小さくなることはありません。
２ｘ＋ｙ＋１についても同様に５より小さくなることはありません。
両式とも自然数ですから５５＝１１×５としか分解できないので、
ｘ＋３ｙ＋４＝１１
２ｘ＋ｙ＋１＝５
しか考えられないわけです。