場合の数

質問

xyz＝2310、x≦y≦zを満たす自然数の組(x,y,z)は何組あるか。

この問題がわかりません。どなたか説明してください。お願いします。

回答No.4

noname#222520

2310=1*2*3*5*7*11
x≦y≦zであるから、x=y=1、z=2310でもいいことになります。
（こう考えることで、何故x＜yではなくてx≦yであるかの意味が出てきます。）

・x=1、y=1のとき
z=2310の1組

・x=1、y≧2のとき
yz=2310→√2310≒48
yが1個の数字の場合、y=2～11の5組、
yが2個の数字の積の場合、5*11=55、7*11=77であるから、
5C2-2=10-2=8組
yが3個の数字の積の場合、2*3*5=30、2*3*7=42であるから、この2組
よって、5+8+2=15組

・x=2のとき
yz=2310/2=1155→√1155≒34
yが1個の数字の場合、5-1=4組
yが2個の数字の積の場合、3*5=15、3*7=21、3*11=33であるから、この3組
yが3個の数字の積の場合、最小で3*5*7=105であるから、0組
よって、4+3+0=７組

・x=3のとき
yz=2310/3=770→√770≒28
yが1個の数字の場合、4-1=3組
yが2個の数字の積の場合、2*5=10、2*7=14、2*11=22であるから、この3組
yが3個の数字の積の場合、最小で2*5*7=70であるから、0組
よって、3+3+0=6組

・x=5のとき
yz=2310/5=462→√462≒21.5
yが1個の数字の場合、3-1=2組
yが2個の数字の積の場合、2*3=6、2*7=14、3*7=21であるから、この3組
yが3個の数字の積の場合、最小で2*3*7=42であるから、0組
よって、2+3+0=5組

・x=7のとき
yz=2310/7=330→√330=18
yが1個の数字の場合、2-1=1組
yが2個の数字の積の場合、2*5=10、3*5=15であるから、この2組
yが3個の数字の積の場合、最小で2*3*5=30であるから、0組
よって、1+2+0=3組

・x=11のとき
yz=2310/11=210 →√210≒14.5
yが1個の数字の場合、0組
yが2個の数字の積の場合、2*７=14だけであるから、この1組
yが3個の数字の積の場合、最小で2*3*5=30であるから、0組
よって、0+1+0=1組

・x=2*3=6のとき
y=7、z=5*11=55とy=11、z=5*7=35の2組

・x=2*5=10のとき
y=11、z=3*7=21の1組

答えは、1+15+7+6+5+3+1+2+1=41組

回答No.3

noname#231195

#1です。
ふん、やられた。確かに間違えたな。

回答No.2

jcpmutura

xyz=2310
x≦y≦z

2310=2*3*5*7*11

5つの素数を3つのグループに分ける方法は
次の5つに分類できます。

0,0,5

5C5=1組
1*1*2310

0,1,4

5C4=5組
1*2*1155
1*3*770
1*5*462
1*7*330
1*11*210

0,2,3

5C2=5*4/2=10組
1*6*385
1*10*231
1*14*165
1*15*154
1*21*110
1*22*105
1*30*77
1*33*70
1*35*66
1*42*55

1,1,3

5C3=5*4/2=10組
2*3*385
2*5*231
2*7*165
2*11*105
3*5*154
3*7*110
3*11*70
5*7*66
5*11*42
7*11*30

1,2,2

5!/2/2/2=5*4*3/2/2=15組
2*15*77
2*21*55
2*33*35
3*10*77
3*14*55
3*22*35
5*6*77
5*14*33
5*21*22
7*6*55=6*7*55
7*10*33
7*15*22
11*6*35=6*11*35
11*10*21=10*11*21
11*14*15

合計
1+5+10+10+15
=
41組

回答No.1

noname#231195

xyzはそれぞれ2310の約数なのですから、それを見当つけるために素因数分解します。
2310=2x3x5x7x11
5つの異なる素数の積なのですから、5つの素数を3つのグループに分けるやり方を数えればそれが答えです。

5つの素数を３つのグループに分ける方法は次の2つのやり方に分類できます。
a．１つ、２つ、２つ
b．１つ、１つ、３つ

a．
最初の一つを選ぶ方法:5通り
次の二つを選ぶ方法:4通り
最後の二つは自動的に決まりますから:１通り
ということになります。
ただし、二番目のふたつとして(３，５)を選んだら最後の二つは(７，１１)となりますが、二番目の二つとして(７，１１)を選んだ時に、最後のふたつは(３，５)となりますから、ここに重複があります。どの組み合わせにも必ず重複があるはずです。
すること、a．に該当する組み合わせは
5×4÷2=１０通り
ということになります。
x≦y≦zという条件はこういう重複をダブって数えるなということです

b．も同様に考えます。することこちらも10通りです。

つまり合計して20通り