場合の数

質問

１．８人の生徒を、次の２グループに分ける方法は何通りあるか。
　　　　　　　　（答え：１２７通り）

２．ｘ＋ｙ＋ｚ＝１０のとき、次の条件を満たす、解（ｘ、ｙ、ｚ）は何組あるか。
（１）ｘ、ｙ、ｚは０または、正の数　　（答え：６６組）
（２）ｘ、ｙ、ｚは正の数　　　　　　　（答え：３６組）

考え方を教えてください。問題数が多いですが、回答よろしくお願いします。

回答No.1

taranko · ベストアンサー

２．の問題ですがＸとＹが決まればＺは必然的に１つの数字に絞られます。
（１）
Ｘが０の時Ｙは０～１０の１１通り
Ｘが１の時Ｙは０～９の１０通り（１０だとＸ＋Ｙが１１になる為）
Ｘが２の時Ｙは０～８の９通り
Ｘが３の時Ｙは０～７の８通り
Ｘが４の時Ｙは０～６の７通り
Ｘが５の時Ｙは０～５の６通り
Ｘが６の時Ｙは０～４の５通り
Ｘが７の時Ｙは０～３の４通り
Ｘが８の時Ｙは０～２の３通り
Ｘが９の時Ｙは０～１の２通り
Ｘが１０の時Ｙは０の１通り
１から１１をたすと（何通りの部分）６６通りになります。
（２）
Ｘが１の時Ｙは１～８の８通り
Ｘが２の時Ｙは１～７の７通り
Ｘが３の時Ｙは１～６の６通り
Ｘが４の時Ｙは１～５の５通り
Ｘが５の時Ｙは１～４の４通り
Ｘが６の時Ｙは１～３の３通り
Ｘが７の時Ｙは１～２の２通り
Ｘが８の時Ｙは１の１通り
Ｘが９の時ＹかＺがゼロになるのでゼロ
Ｘが１０の時ＹとＺがゼロになるのでゼロ
１から８をたすと３６通りになります。

回答No.6

Mell-Lily

（１－１）
１人と７人のグループに分ける分け方は、
　8_C_1=8 (通り).
２人と６人のグループに分ける分け方は、
　8_C_2=28 (通り).
３人と５人のグループに分ける分け方は、
　8_C_3=56 (通り).
４人と４人のグループに分ける分け方は、
　8_C_4/2=35 (通り).
よって、８人の生徒を２つのグループに分ける方法は、
　8+28+56+35=127 (通り). … (Ans.)

（２－１）
ｘとｙが決まればｚは決まるので、ｘとｙについて考えれば十分である。
　x=10　y=0
　x=9 　y=0,1
　x=8 　y=0,1,2
　…
　x=1 　y=0,1,2,…,8,9
　x=0 　y=0,1,2,…,8,9,10
よって、
　Σ<k=1,11>k=66. … (Ans.)

（２－２）
　x=8　y=1
　x=7　y=1,2
　x=6　y=1,2,3
　…
　x=2　y=1,2,3,…6,7
　x=1　y=1,2,3,…6,7,8
よって、
　Σ<k=1,8>k=36. … (Ans.)

回答No.5

rei00

２．についてですが，x, y, z の組み合わせを考えると，

　　0, 0, 10 の場合
　　　　x=10, y=10, z=10 の場合があって３通り
　　0, 1, 9 の場合
　　　　３個の数を並べる順列で 3! = 6 通り
　　0, 2, 8 の場合　６通り
　　0, 3, 7 の場合　６通り
　　0, 4, 6 の場合　６通り
　　0, 5, 5 の場合　３通り

　以下同様に，

　　1, 1, 8 の場合　３通り，　1, 2, 7 の場合　６通り
　　1, 3, 6 の場合　６通り，　1, 4, 5 の場合　６通り
　　2, 2, 6 の場合　３通り，　2, 3, 5 の場合　６通り
　　2, 4, 4 の場合　３通り，　3, 3, 4 の場合　３通り

　これで全てですので，後は足し合わせてやれば，（１）６６組，（２）３６組が求まります。

回答No.4

oshiete_goo

＃４ですが，補足です
＞[正しくはn個の区別のあるものから重複を許してr個を取る場合の数(ただし，１つも取らないものがあっても良い)]は
これは，取る順序を区別せず，取った結果の個数(組合せ)を問題にしています(順列ではない)ので，

[正しくはn個の区別のあるものから重複を許してr個を取ってできる組合せの数(ただし，１つも取らないものがあっても良い)]は

などとするべきでした．訂正いたします．

回答No.3

oshiete_goo

１.初めにＡ，Ｂの２組に分けると，それぞれ２通りの選び方があるので　2^8=256(通り)
ただし，その中にはＡだけ，Ｂだけに集まる場合が含まれているので，この２通りを引いて　2^8－2=254(通り)
最後にＡ，Ｂの組の区別をなくして(同じ組合せを２回ずつ数えているから)
(2^8－2)/2=127(通り)

２．は重複組合せを使うのが簡単で，詳しくは参考書等で調べて下さい．

n人でr個のミカンを分ける場合の数(ただし１人０個以上)は
[正しくはn個の区別のあるものから重複を許してr個を取る場合の数(ただし，１つも取らないものがあっても良い)]は
　nＨr=(n+r-1)Ｃr
で計算されます．
(1)３人で10個を分けると見て
3Ｈ10=12Ｃ10=12Ｃ2=12*11/2*1=66[通り]

(2)先に1人1個ずつ配って，残り７個を(1)と同じように分けると
3Ｈ7=9Ｃ7=9Ｃ2=9*8/2*1=36[通り]

回答No.2

TK0318

２については下のとおりです。

１の問題は「次の２グループ」が示されていないため解きようがありません。補足願います。

補足

すいませんでした。問題の書き間違いです。

　　　　　　８人の生徒を２グループに分ける方法は何通りあるか。ただし、１グループにつき必ず１人は入るものとする。

　　回答のほうよろしくお願いします。