式と証明

質問

x＜y＜zである自然数x,y,zについて、(y－2/x)＋(z－2x/y)＋(x－2y/z)＝－7/2が成り立つ時、zは偶数であることを証明せよ。
という問題での方針について質問なのですが、
まずこの問題を見た時、ぱっと、因数分解して、x－2y＜0,2z－y＜0より求めれそうだな、とか思い浮かぶのでしょうか？またそうならば、何をすればよいかがなぜわかるのでしょうか？(何を根拠に？)またどういう基準でこの問題はこう解こうとか決めるのでしょうか？それとも、1つ2ついけそうなやり方を考えて、試行錯誤を繰り返すのでしょうか？

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

＞方針(b)はどうやってやるのでしょうか？

{(y－2z)/x}＋{(z－2x)/y}＋{(x－2y)/z}＝－7/2
の両辺に-2xyzをかけて、zについて整理すると

2(2y-x)z^2+(4x^2-7xy-2y^2)z-2xy(x-2y)=0・・・★

となります。2y-x≠0ですので、ｚについての２次方程式とみることができます。
目標は、z={x,yの式}の形で表して、{x,yの式}が偶数である事を示すことです。

もし、zの係数が(x-2y)(4x+y)と因数分解できる気付けば、(2y-x)でくくって、
(2y-x)(2z^2-(4x+y)z+2xy)=0
となって、2y-xで割れるんだから、(2z-y)とかでも割り切れるだろう、と考えてみれば、
(2y-x)(2z-y)(z-2y)=0
と変形できますね。
まぁ、これですと、(c)の方針に近いですが。

で、もし、因数分解が全く思い浮かばなくても、★は単なる二次方程式ですから、解の公式があります。
★の解は

{-(4x^2-7xy-2y^2)±√{(4x^2-7xy-2y^2)^2-16(2y-x)xy(x-2y)}}/4(2y-x)
となります。根号内はゴリゴリ計算していけば、(整式)^2の形になるので、根号を外すとｚが求まります。
最終的な答えが、z=2x,y/2ですので、そこまで大変じゃないだろう、と思ったんですが、結構面倒でしたね。

回答No.1

eatern27

＞(y－2/x)＋(z－2x/y)＋(x－2y/z)＝－7/2
{(y－2z)/x}＋{(z－2x)/y}＋{(x－2y)/z}＝－7/2
ですか？(第一項のy-2→y-2zとした事と括弧のつけ方)

＞まずこの問題を見た時、ぱっと、因数分解して、x－2y＜0,2z－y＜0より求めれそうだな、とか思い浮かぶのでしょうか？

因数分解できるかな～、と思ってやってみたら、できた！、って人はいると思いますが、最初から、「ぉ、因数分解できるぞ！」と思って因数分解をする人はほとんどいないと思います。
「x－2y＜0,2z－y＜0」とかが出てくるのは、(2z-y>0ですよね？)
実際に因数分解をしてからでしょう。

＞またどういう基準でこの問題はこう解こうとか決めるのでしょうか？
基準というか、方針ですよね？
私なら、まず、分母を払います。理由は、整数問題なのに、分数が出てくるのは気持ち悪いからです。条件反射みたいなもんですね。

この後は、
＞それとも、1つ2ついけそうなやり方を考えて、試行錯誤を繰り返すのでしょうか？
という感じですね。

例えば、この問題で私が思いついたのは、

a)ｚが奇数と仮定して矛盾を探す
b)分母をはらった式をｚの二次方程式とみます。zを具体的にx,yの式で表して、その後は何とかする。
c)因数分解できるかどうか

くらいですかね。(実際に解けるかどうかは別として)

模範解答では、c)の方針が書いてあったんですかね？
もし、問題の式が最初に書いた式であっているなら、b)の方針が強引で、かなり面倒なようですけど、最終的な答えをみる限り、そこまで面倒ではないのかもしれません。

補足

返信ありがとうございました。
すいません、zが抜けてましたね・・・
方針(b)はどうやってやるのでしょうか？