数と式

質問

3x-7y=1を満たす自然数の組(x,y)のうちxの値が10番目に小さいものを求める問題で
3x-7y=1 …(1)
特殊解を１つ適当に決めて
(x,y)=(-2,-1)とすると
3*(-2)-7*(-1)=1 …(2)
(1)－(2)より3(x+2)-7(y+1)=0
までは考えたのですが
x+2=7k
y+1=3k
になるのが分かりません

回答No.3

FUURINKAASAN · ベストアンサー

＞y+1＝3kの導き方が分かりません。
(1)の左辺で、3は整数、ｘは自然数ですね。

3(x+2)は「３(整数)」かける（「自然数」+「2(整数)」)だから
整数になります。しかも３がかけられてるから３の倍数です。

ここまではいいですか？

そこで便宜的に(1)の右辺を３の倍数であることを表すために

7(ｙ+1)は、３かける「ある整数」となります。

7(ｙ+1)＝３×「ある整数」
両辺７で割る
y+1＝３/７×「ある整数」

ここで「ある整数」＝7ｋとすると

y+1＝３/７×7k
よって
y+1＝3ｋ

です。

要するにｋは整数を表しているだけですから。

補足欄の
・・・・・・・・・・・・・・
(1)より
3k=7(y+1)・・・・・・・・・・・・・・(Ａ)
y+1=3k/7
になってしまいます。
・・・・・・・・・・・・・・・

(Ａ)の考えが間違いです。
(1)からは(Ａ)と考えずに

3Ｋ＝7(y+1)・・・・・Ｋは大文字ですよ
両辺逆にして
7(y+1)＝3Ｋ
y+1＝3Ｋ/7

ここでＫ＝7ｋと置き換えると
y+1＝3*7k/7
よって
y+1＝3ｋ

お礼

ありがとうございました。
やっと分かりました

回答No.6

take_5

3(x+2)-7(y+1)=0において、x+2＝Ａ、y+1＝Ｂとすると、3Ａ＝7Ｂになります。但し、ＡとＢは共に整数。
ところが、3と7の間には1以外に約数がありません(＝互いに素である、と言います)。
従って、3Ａ＝7Ｂが成立するためには、Ａ＝7k　(kは整数)と置くと、Ｂ＝3kになります。
後は、xとyを戻すだけです。

特別解の求め方は、ユークリッドの互除法というのがあって、7＝3*2＋1より特別解を求められます。
つまり、7-1＝3*2ですから、3*(-2)-7*(-1)=1 …(2)に成るわけです。

追記。
xとyの特別解は、(x、y)＝(12、5)もそのひとつですから、x＝7k＋12、y＝3k＋5　(kは整数)　とあらわせます。
この場合は、x≧1、y≧1より　k≧-1とすれば良いです。

補足

解説ありがとうございます。
(２）の求めかたを教えてください
7-1＝3*2から、3*(-2)-7*(-1)=になるがわ分かりません。

他に、(x、y)＝(12、5)がどうやって現れたのか分かりません。
どうしてk≧-1とすれば良いのでしょうか？

回答No.5

take_5

xとyの特別解のひとつを(x,y)＝(-2,-1)として、x＝7k-2、y＝3k-1(kは整数)として一般解を求める。
但し、x≧1、y≧1より　k≧1とすれば良いですよ。

勿論、(x,y)＝(5,2)として、x＝7k＋5、y＝3k＋2(kは整数)として一般解を求める。
但し、この場合は、x≧1、y≧1より　k≧0とするだけです。

一般解のあらわし方は、条件さえ付ければ、一通りではないです。

回答No.4

FUURINKAASAN

それからｘ、ｙは自然数ですから
＞特殊解を１つ適当に決めて
＞(x,y)=(-2,-1)とすると

これも駄目ですよ。

自然数にマイナスは駄目だよ。

回答No.2

FUURINKAASAN

3ｘ-7ｙ＝1
3ｘ＝7ｙ+1
3ｘ＝7(ｙ+1)-6
3ｘ+6＝7(ｙ+1)
3(x+2)＝7(ｙ+1)・・・・・・・(1)

ここで(1)の右辺が整数で７の倍数であることが解ります。
つまり、Ｎを整数とすると
3(x+2)＝7Ｎ・・・・・・・・・(2)
x+2＝7Ｎ/3・・・・・・・・(3)

(1)、(2)の左辺より
7(y+1)＝7Ｎ
y+1＝Ｎ・・・・・・・・・(4)

また(1)の左辺は整数で３の倍数ということも解ります。
そこで,kを整数とすると
y+1＝3k・・・・・・・・・(5)
(4)、(5)の左辺より
Ｎ＝3k
Ｎを(3)の式に代入して
x+2＝7*3k/3
x+2＝7k・・・・・・・・・(6)

(5)、(6)で
x+2＝7k
y+1＝3k

となる。

回りくどいですが本当はこんな感じで証明していくのですがね。
自明な事ほど説明、証明するのは大変です。

補足

y+1＝3kの導き方が分かりません。
(1)より
2k=7(y+1)
y+1=3k/7
になってしまいます。

回答No.1

ccyuki

3(x+2)-7(y+1)=0 より
3(x+2)=7(y+1)　　
この式をよく見ると　yは　自然数なので右辺は　7×(自然数)です。
　よって　x+2　は　7の倍数でないといけません。
　だから　x+2=7k　(k：整数)　と書けます。
同じ理由で　y+1=3k　です。