x+y+z=42のときできる三角形はいくつ？

質問

x+y+z=42のとき3つの自然数x,y,zを３辺の長さとする三角形はいくつできますか？
という問題なんですか教えてもらえないでしょうか、、、
お願いします。

回答No.7

wild_kit · ベストアンサー

ｘ＞＝ｙ＞＝ｚとする。
こうしないと各辺の長さを入れ替えることにより、同じ形が複数回カウントされる。
三角形の一辺は他の二辺を足したものより短くなければならない。
このことからｘ＜ｙ＋ｚ
４２／２＝２１
ｘ＝２１だと先の式と合わないので、それよりも小さい自然数２０が最長となる。
４２／３＝１４
ｘ＝ｙ＝ｚ＝１４の正三角形
これがｘの最短となる。
これ以上小さくすると他の辺がｘより大きくなるので、先の定義と合わない。

１４＜＝ｘ＜＝２０ただしｘは自然数。

　ｘ＝１４
ｙ＝ｚ＝１４（１通り）

　ｘ＝１５
ｙ＝１５，ｚ＝１２　ｙ＝１４，ｚ＝１３（２通り）

　ｘ＝１６
ｙ＝１６，ｚ＝１０　ｙ＝１５，ｚ＝１１　ｙ＝１４，ｚ＝１２　ｙ＝１３，ｚ＝１３（４通り）

　ｘ＝１７
ｙ＝１７，ｚ＝８　ｙ＝１６，ｚ＝９　ｙ＝１５，ｚ＝１０　ｙ＝１４，ｚ＝１１　ｙ＝１３，ｚ＝１２（５通り）

　ｘ＝１８
ｙ＝１８，ｚ＝６　ｙ＝１７，ｚ＝７　ｙ＝１６，ｚ＝８　ｙ＝１５，ｚ＝９　ｙ＝１４，ｚ＝１０　ｙ＝１３，ｚ＝１１　ｙ＝１２，ｚ＝１２（７通り）

　ｘ＝１９
ｙ＝１９，ｚ＝４　ｙ＝１８，ｚ＝５　ｙ＝１７，ｚ＝６　ｙ＝１６，ｚ＝７　ｙ＝１５，ｚ＝８　ｙ＝１４，ｚ＝９　ｙ＝１３，ｚ＝１０　ｙ＝１２，ｚ＝１１（８通り）

　ｘ＝２０
ｙ＝２０，ｚ＝２　ｙ＝１９，ｚ＝３　ｙ＝１８，ｚ＝４　ｙ＝１７，ｚ＝５　ｙ＝１６，ｚ＝６　ｙ＝１５，ｚ＝７　ｙ＝１４，ｚ＝８　ｙ＝１３，ｚ＝９　ｙ＝１２，ｚ＝１０　ｙ＝１１，ｚ＝１１（１０通り）

以上で３７通りになると思われます。

お礼

すべての通りを書いていただいてとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.8

mister_moonlight

自然数x、y、zの値域は以下のようにする。

x≧y≧zとすると、3z≦x+y+z≦3x　つまり　z≦14≦x　‥‥(1)
また、三角形の形成条件から　x-y＜z＜x+y、　x-y＜42-x-y＜x+y　→　x+y＞21、x＜21.　‥‥(2)
よって、(1)と(2)から　14≦x≦20となる。

以下は、他の回答者の通り。

回答No.6

chie65536（@chie65535）

以下３７通りが答えかな？

20 + 20 + 2 = 42
20 + 19 + 3 = 42
20 + 18 + 4 = 42
20 + 17 + 5 = 42
20 + 16 + 6 = 42
20 + 15 + 7 = 42
20 + 14 + 8 = 42
20 + 13 + 9 = 42
20 + 12 + 10 = 42
20 + 11 + 11 = 42
19 + 19 + 4 = 42
19 + 18 + 5 = 42
19 + 17 + 6 = 42
19 + 16 + 7 = 42
19 + 15 + 8 = 42
19 + 14 + 9 = 42
19 + 13 + 10 = 42
19 + 12 + 11 = 42
18 + 18 + 6 = 42
18 + 17 + 7 = 42
18 + 16 + 8 = 42
18 + 15 + 9 = 42
18 + 14 + 10 = 42
18 + 13 + 11 = 42
18 + 12 + 12 = 42
17 + 17 + 8 = 42
17 + 16 + 9 = 42
17 + 15 + 10 = 42
17 + 14 + 11 = 42
17 + 13 + 12 = 42
16 + 16 + 10 = 42
16 + 15 + 11 = 42
16 + 14 + 12 = 42
16 + 13 + 13 = 42
15 + 15 + 12 = 42
15 + 14 + 13 = 42
14 + 14 + 14 = 42

回答No.5

chie65536（@chie65535）

＞一番長い辺の最長は４０です。

ちゃう。２０やんか。大間違いですやね。

２１以上になったら三角形が出来ないやん。

回答No.4

chie65536（@chie65535）

一番長い辺の最長は４０です。

一番長い辺の最短は１４です。

すると、残り２辺の合計は「２以上、２８以下」になります。

また、残り２辺のどちらも「１４以下」でなければいけません（そうしないと、合同、相似の三角形を重複して数えてしまいます）

さらに、ｘ≧y≧zと言う条件も必要です（そうしないと、合同、相似の三角形を重複して数えてしまいます）

そうすると、可能な組み合わせは、

１通り＋１通り＋２通り＋２通り＋…＋１０通り＋１０通り＋８通り＋７通り＋５通り＋４通り＋２通り＋１通り＝１4７通り

となり、１4７通り、が答えです。

以下が、全部の組み合わせです。

40 1 1
39 2 1
38 3 1
38 2 2
37 4 1
37 3 2
36 5 1
36 4 2
36 3 3
35 6 1
35 5 2
35 4 3
34 7 1
34 6 2
34 5 3
34 4 4
33 8 1
33 7 2
33 6 3
33 5 4
32 9 1
32 8 2
32 7 3
32 6 4
32 5 5
31 10 1
31 9 2
31 8 3
31 7 4
31 6 5
30 11 1
30 10 2
30 9 3
30 8 4
30 7 5
30 6 6
29 12 1
29 11 2
29 10 3
29 9 4
29 8 5
29 7 6
28 13 1
28 12 2
28 11 3
28 10 4
28 9 5
28 8 6
28 7 7
27 14 1
27 13 2
27 12 3
27 11 4
27 10 5
27 9 6
27 8 7
26 15 1
26 14 2
26 13 3
26 12 4
26 11 5
26 10 6
26 9 7
26 8 8
25 16 1
25 15 2
25 14 3
25 13 4
25 12 5
25 11 6
25 10 7
25 9 8
24 17 1
24 16 2
24 15 3
24 14 4
24 13 5
24 12 6
24 11 7
24 10 8
24 9 9
23 18 1
23 17 2
23 16 3
23 15 4
23 14 5
23 13 6
23 12 7
23 11 8
23 10 9
22 19 1
22 18 2
22 17 3
22 16 4
22 15 5
22 14 6
22 13 7
22 12 8
22 11 9
22 10 10
21 20 1
21 19 2
21 18 3
21 17 4
21 16 5
21 15 6
21 14 7
21 13 8
21 12 9
21 11 10
20 20 2
20 19 3
20 18 4
20 17 5
20 16 6
20 15 7
20 14 8
20 13 9
20 12 10
20 11 11
19 19 4
19 18 5
19 17 6
19 16 7
19 15 8
19 14 9
19 13 10
19 12 11
18 18 6
18 17 7
18 16 8
18 15 9
18 14 10
18 13 11
18 12 12
17 17 8
17 16 9
17 15 10
17 14 11
17 13 12
16 16 10
16 15 11
16 14 12
16 13 13
15 15 12
15 14 13
14 14 14

回答No.3

pasocom

＃1様が言われるように「三角形は２辺を足した長さが他の１辺より長くなくてはなりません。」です。
言い直せば、「三角形の一番長い辺は、他の２辺を足した長さより短い」です。
ここで、「一番長い辺」に注目しましょう。
上の定理（？）から、一番長い辺は、42/2＝21より短いはずです。
また、42/3＝14　より短いということもありませんね。（それ以上短いと他の辺の方が長くなってしまう。）
従って、「一番長い辺が14～20」の各場合を考えればいいのです。

・一番長い辺が「14」の時→他の辺は14と14しかあり得ません。→1通り。（正三角形です）
・一番長い辺が「15」の時→他の辺は15と12、14と13、だけです。→2通り。
・一番長い辺が「16」の時→他の辺は16と10、15と11、14と12、13と13。→4通り。
・一番長い辺が「17」の時→他の辺は17と8、16と9、15と10、14と11、13と12。→5通り。
・一番長い辺が「18」の時→他の辺は18と6、17と7、16と8、15と9、14と10、13と11、12と12。→7通り。
・一番長い辺が「19」の時→他の辺は19と4、18と5、17と6、16と7、15と8、14と9、13と10、12と11。→8通り。
・一番長い辺が「20」の時→他の辺は20と2、19と3、18と4、17と5、16と6、15と7、14と8、13と9、12と10、11と11。→10通り。
・一番長い辺が「21」の時→他の辺の合計が21なので三角形にならない。
以上です。
全部の場合を足せば答えになります。

お礼

すべとの通りをわかりやすく教えていただきありがとうございます。

回答No.2

tsuyoshi2004

三角形になるためには、最も長い１辺は他の２辺の合計の長さより長くなくてはならないので、

従って、最も長い辺は２０が最長です。
最長の辺が２０のときは、
（２０、２０、２）、（２０、１９、３）・・・・・（２０、１２、１０）、（２０、１１、１１）
の１０通り。
最長の辺が１９のときは、
（１９、１９、４）（１９、１８、５）・・・・・・・（１９、１３、１０）、（１９、１２、１１）
の８通り、
最長の辺が１８のときは、
（１８、１８、６）、（１８，１７、７）・・・・・・（１８、１３、１１）、（１８、１２、１２）
の７通り、
最長の辺が１７のときは、
（１７，１７、８）、（１７、１６、９）・・・・・・（１７、１４、１１）、（１７、１３、１２）
の５通り、
最長の辺が１６のときは
（１６，１６、１０）、（１６，１５、１１）、（１６、１４、１２）、（１６，１３，１３）
の４通り、
最長の辺が１５のときは、
（１５、１５、１２）、（１５，１４、１３）
の２通り、
最長の辺が１４のときは、
（１４，１４，１４）の１通り。

合計で３７通り。

回答No.1

LHS07

自然数は１、２，３・・・ですね。

三角形は２辺を足した長さがたの１辺より長くなくてはなりませんね。

３辺を足した値が４２ですから、一辺が最長で４０ですね。

No. a b c
1 1 1 40
2 1 2 39
3 1 3 38
4 1 4 37
5 1 5 36
6 1 6 35
7 1 7 34
8 1 8 33
9 1 9 32
10 1 10 31
11 1 11 30
12 1 12 29
13 1 13 28
14 1 14 27
15 1 15 26
16 1 16 25
17 1 17 24
18 1 18 23
19 1 19 22
20 1 20 21
21 1 21 20
22 1 22 19
23 1 23 18
24 1 24 17
25 1 25 16
26 1 26 15
27 1 27 14
28 1 28 13
29 1 29 12
30 1 30 11
31 1 31 10
32 1 32 9
33 1 33 8
34 1 34 7
35 1 35 6
36 1 36 5
37 1 37 4
38 1 38 3
39 1 39 2
40 1 40 1